Question

Задание 1 (10 баллов). Спутник Урана Ариэль вращается вокруг Урана с периодом приблизительно 2,5 земных суток, а большая полуось его орбиты составляет 191 тыс. км. Найдите большую полуось орбиты спутника Миранда, если период его обращения вокруг Урана равен 1,4 земных суток.

Answer 1

Ответ: Большая полуось орбиты спутника Миранда ≈ 129765 км

Объяснение: По третьему закону Кеплера отношение квадратов периодов обращения спутников вокруг центрального массивного тела равно отношению кубов больших полуосей орбит этих спутников.

В нашем случае этот закон можно записать в виде:

Та²/Тм² = Аа³/Ам³, здесь Та - сидерический период обращения Ариэля вокруг Урана = 2,5 суток; Тм - сидерический период обращения Миранды вокруг Урана = 1,4 суток; Аа - большая полуось орбиты Ариэля = 191000 км; Ам - большая полуось орбиты Миранды - надо найти.

Из закона Кеплера Ам³ = Аа³*Тм²/Та². Отсюда Ам = ∛(Аа³*Тм²/Та²) = ∛(191000³*1,4²/2,5²) ≈ 129765 км

Answer 2

Finding the Semi-Major Axis of Miranda's Orbit

The period of Ariel's orbit around Uranus is approximately 2.5 Earth days, and the semi-major axis of its orbit is 191,000 km. We need to find the semi-major axis of Miranda's orbit, given that its period of revolution around Uranus is 1.4 Earth days.

To find the semi-major axis of Miranda's orbit, we can use Kepler's third law, which states that the square of the period of revolution of a celestial body is directly proportional to the cube of the semi-major axis of its orbit.

Using the formula: \[ T^2 = k \times a^3 \] where: - \( T \) = period of revolution - \( a \) = semi-major axis - \( k \) = constant of proportionality

We can rearrange the formula to solve for the semi-major axis: \[ a = \sqrt\frac{T^2}{k}} \]

Substituting the values: \[ a = \sqrt\frac{T^2}{k}} = \sqrt\frac{(1.4)^2}{(2.5)^2} \times 191,000} \]

Calculating the value of \( a \): \[ a \approx \sqrt\frac{(1.4)^2}{(2.5)^2} \times 191,000} \] \[ a \approx \sqrt\frac{1.96}{6.25} \times 191,000} \] \[ a \approx \sqrt0.3136 \times 191,000} \] \[ a \approx \sqrt59,897.6} \] \[ a \approx 39.2 \text{ thousand km} \]

The semi-major axis of Miranda's orbit is approximately 39.2 thousand km.