Question

Через вершину конуса проведена плоскость под углом 45° к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание по хорде длиной 12 3 см, которую видно из центра основания под углом 120°. Найдите объем конуса.

Answer 1

Ответ:

pi*34460.5*sqrt(3)

Объяснение:

Проведем в основании конуса хорду АВ. Проведем  из центра круга О радиусы к концам хорды. Образуется равнобедренный треугольник АОВ с углом при вершине О=120 градусов и основании АВ=123 см

Проведем высоту ОН к основанию. Тогда АН=123:2=61.5 см

Угол АОН=120:2=60, а угол ОАН =90-60=30 градусов

Тогда радиус ОА равен АН/cos 30=61.5*2/sqrt(3)=123/sqrt(3)       (1)

a высота треугольника АОВ  OH=OA*cos60=61.5/sqrt(3)

Теперь найдем высоту конуса  ОТ ( Т- вершина конуса).  Заметим , что треугольник ТОН прямоугольный , причем по условию задачи ТНО=45 град.

Значит ОТ=ОН=61.5/sqrt(3)       (2)

Обьем конуса равен Vкон= S*h/3= pi*OA^2*OT/3=

pi*123^2/3 *61.5/sqrt(3)/3=pi*41^2*61.5/sqrt(3)=pi*41^2*61.5*sqrt(3)/3=

=pi*41^2*20,5*sqrt(3)=pi*34460.5*sqrt(3)

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. У нас есть конус с вершиной, основанием и плоскостью, проведенной через вершину под углом 45° к плоскости основания. Плоскость пересекает основание конуса, образуя хорду длиной 12√3 см, которую видно из центра основания под углом 120°.

Для начала, давайте определим радиус основания конуса. Мы знаем, что хорда равна 12√3 см, а угол между хордой и радиусом (из центра основания до точки пересечения хорды) составляет 120°.

Используя закон косинусов в треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды (половиной длины 12√3 см) и стороной основания радиуса, мы можем найти радиус основания конуса:

$r^2 = (6√3)^2 + (12√3/2)^2 - 2 \cdot 6√3 \cdot 12√3/2 \cdot \cos(120°).$

Раскроем косинус 120°: $\cos(120°) = -1/2$.

$r^2 = 108 + 108 - 2 \cdot 6√3 \cdot 12√3/2 \cdot (-1/2),$ $r^2 = 216 + 108 \cdot 3,$ $r^2 = 540,$ $r = √540 = 3√60 = 6√15 \text{ см}.$

Теперь, когда у нас есть радиус основания, давайте найдем высоту конуса. Поскольку плоскость, проходящая через вершину конуса, образует с плоскостью основания угол 45°, то треугольник, образованный высотой, радиусом основания и биссектрисой угла между этими сторонами, будет равнобедренным.

Высота, биссектриса и радиус образуют прямоугольный треугольник, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора:

$h^2 + (r/2)^2 = r^2.$

Подставим значение радиуса $r = 6√15$ см:

$h^2 + (6√15/2)^2 = (6√15)^2,$ $h^2 + 135/2 = 540,$ $h^2 = 540 - 135/2,$ $h^2 = 945/2,$ $h = √(945/2) = 15√(21/2) = 15√(42/4) = 15√42/2 \text{ см}.$

Теперь у нас есть радиус основания и высота конуса. Мы можем найти объем конуса по формуле:

$V = (1/3)πr^2h.$

Подставим значения:

$V = (1/3)π \cdot (6√15)^2 \cdot (15√42/2),$ $V = (1/3)π \cdot 540 \cdot (15√42/2),$ $V = 270π√42 \text{ см}^3.$

Итак, объем конуса составляет $270π√42$ кубических сантиметров.