Question

Через вершину конуса проведена плоскость сечения под углом 45° к основанию. Эта плоскость пересекает основание по хорде, которую видно с центра основания под углом 60°. Найти объём конуса, если расстояние от центра основания к хорде равно 9 см (π≈3)

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами конуса и принципом подобия треугольников.

По условию задачи, мы знаем, что сечение конуса плоскостью под углом 45° к основанию пересекает основание по хорде, которую видно с центра основания под углом 60°. Это значит, что треугольник, образованный хордой, центром основания и точкой пересечения хорды с плоскостью сечения, является равнобедренным с углами 60°, 60° и 60° + 45° = 105°.

Мы также знаем, что расстояние от центра основания к хорде равно 9 см. Обозначим это расстояние как h, а радиус основания конуса как r.

Используя свойства равнобедренного треугольника, мы можем найти длину хорды:

$$l = 2r\sin{(\frac{105}{2})} = 2r\sin{52.5^\circ}$$

Теперь мы можем воспользоваться принципом подобия треугольников, чтобы найти соотношение между радиусом основания и высотой конуса.

Рассмотрим два треугольника: один - треугольник, образованный хордой, центром основания и точкой пересечения хорды с плоскостью сечения; другой - треугольник, образованный хордой, центром основания и вершиной конуса.

Эти треугольники подобны, так как у них соответствующие углы равны: угол при вершине конуса равен 90°, а два других угла обоих треугольников равны 60° и 105°.

Используя принцип подобия треугольников, мы можем записать соотношение между радиусом основания и высотой конуса:

$$\frac{r}{h} = \frac{l}{2r} \Rightarrow r^2 = hl$$

Теперь мы можем выразить объем конуса через радиус основания и высоту:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi hl^2$$

Подставляем выражение для r^2:

V = \frac{1}{3} \pi h \cdot l^2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot (2r\sin{52.5^\circ})^2 \