Question

Якщо в рівнобічному прямокутному трикутнику один катет збільшити в 5 разів, а другий зменшити на Зсм, то його площазбільшиться на 2см². Знайти катети рівнобічного трикутника​

Answer 1

Ответ:

4 см

Объяснение:

Пусть катет = а

1/2 * 5а *(а - 3) - 1/2 * а^2 = 2  |*2

5a^2 - 15a - a^2 - 4 = 0

4a^2 - 15a - 4 = 0

a1 = -0,25 - катет не м.б. отрицательным

a2 = 4

Answer 2

Позначимо катети рівнобічного прямокутного трикутника як $x$ і $x$, де $x$ - довжина кожного з катетів.

Площа прямокутного трикутника визначається формулою $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, де $a$ і $b$ - довжини катетів.

Спочатку визначимо площу трикутника до зміни катетів: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} x^2.$

Після змін величини катетів ми маємо нові довжини катетів $5x$ та $x - 3$. Площа нового трикутника буде: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot (5x) \cdot (x - 3) = \frac{5}{2} x^2 - \frac{3}{2} x.$

За умовою, різниця між новою і старою площею дорівнює $2 \, \text{см}^2$: $S_2 - S_1 = \frac{5}{2} x^2 - \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} x^2 = 2.$

Спростимо рівняння: $\frac{3}{2} x^2 - \frac{3}{2} x - 2 = 0.$

Помножимо рівняння на 2, щоб позбутися від дробів: $3x^2 - 3x - 4 = 0.$

Тепер ми можемо використовувати квадратне рівняння для вирішення. Дискримінант цього рівняння: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 9 + 48 = 57.$

Розв'язавши квадратне рівняння, отримаємо два можливих значення для $x$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{6}.$

Таким чином, можливі довжини катетів $x$ - це: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{57}}{6}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{57}}{6}.$

Позитивне значення $x_1$ відповідає фізичній ситуації (довжина не може бути від'ємною), тому катети рівнобічного трикутника дорівнюють: $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{6}.$