Question

B равнобедренном треугольнике ABC на боковой стороне BC отмечена точка M такая, что отрезок MC равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне AB отмечена точка K такая, что угол KMC — прямой. Известно, что ∠BCK=25∘. Найдите угол BAC.

Answer 1

Так как высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны, то можем рассмотреть только высоту CE.

Отрезок СК виден из точек Е и М под прямым углом, поэтому четыр-ник СМКЕ можно вписать в окружность. Это ключевой факт в этой задаче. Дальше просто считаем.

∠КЕМ = ∠КСМ = 25° - углы опираются на общую дугу КМ

∠МЕС = 90° - ∠КЕМ = 90° - 25° = 65°

СЕ = СМ - по условию ⇒ ΔСЕМ - равнобедренный

∠ЕСМ = 180° - 65° - 65° = 50°

В ΔВЕС  ∠ЕВС = 90° - ∠ЕСВ = 90° - 50° = 40°

∠ВАС = ∠ВСА = (180° - 40°)/2 = 70°

Answer 2

Обозначим угол BAC как α.

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Это означает, что угол BAC равен углу BCA, и мы можем обозначить этот угол как β.

Также нам дано, что угол BCK равен 25°.

Треугольник KMC - прямоугольный, так как угол KMC является прямым углом (дано). Таким образом, мы можем использовать теорему о прямоугольных треугольниках:

В прямоугольном треугольнике KMC: sin(α) = MC / KC.

Также у нас есть равенство MC = CH (где H - точка пересечения высоты треугольника ABC с его основанием BC).

Из равнобедренности треугольника ABC мы знаем, что угол BAC равен β, и у нас есть следующие отношения: sin(β) = CH / AC, cos(β) = KC / AC.

Теперь мы можем объединить все эти отношения: sin(α) = MC / KC = CH / KC = CH / AC * AC / KC = sin(β) * cos(β).

Известно, что sin(25°) = sin(α) * cos(β), и мы знаем, что sin(25°) равно примерно 0.4226.

Мы также можем использовать тригонометрический тангенс угла β: tan(β) = CH / BC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = AC. Таким образом, tan(β) = CH / AC.

Теперь, если мы подставим выражение для tan(β) в уравнение sin(α) = sin(β) * cos(β), получим: sin(α) = sin(β) * cos(β) = tan(β) * cos(β).

Следовательно, чтобы найти угол α, нам нужно найти значение угла β, для которого дано tan(β) * cos(β) ≈ 0.4226.

Это можно сделать численно, решив уравнение численными методами. Например, с помощью компьютера или калькулятора, можно попробовать разные значения угла β и найти такое значение, при котором произведение tan(β) * cos(β) будет близко к 0.4226. Это значение угла β и будет приближенным значением угла α (угла BAC), так как α = β.