Question

два кола, відстань між центрами яким дорівнює 17 см, мають зовнішній дотик. знайдіть радіуси цих кіл, якщо відстань між точками дотику кіл з їх спільною зовнішньою дотичною дорівнює 15 см.​

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Позначимо радіус першого кола як $r_1$ і радіус другого кола як $r_2$.

Зауважте, що лінія, яка з'єднує центри двох коліс, буде проходити через точку дотику зовнішніх поверхонь цих коліс. Також відомо, що ця лінія має довжину 17 см (відстань між центрами коліс).

Ми можемо розділити лінію між центрами на дві частини: відстань від центру першого кола до точки дотику та відстань від центру другого кола до точки дотику. Позначимо першу відстань як $d_1$ і другу відстань як $d_2$.

Отже, $d_1 + d_2 = 17$ см.

Також відомо, що сума радіусів двох коліс дорівнює відстані між точками дотику їх зовнішніх поверхонь:

$r_1 + r_2 = 15$ см.

За допомогою геометричних властивостей та піфагорової теореми, ми можемо стверджувати, що:

$d_1^2 = r_1^2 - (r_1 - r_2)^2$ $d_2^2 = r_2^2 - (r_1 - r_2)^2$

Підставивши вирази для $d_1$ і $d_2$ у рівняння $d_1 + d_2 = 17$, ми отримаємо:

$r_1^2 - (r_1 - r_2)^2 + r_2^2 - (r_1 - r_2)^2 = 17^2$

Розкриваючи дужки і спрощуючи, отримаємо:

$2r_1r_2 = 289$

Тепер ми можемо виразити один з радіусів через інший:

$r_1 = \frac{289}{2r_2}$

Підставляючи це значення у рівняння $r_1 + r_2 = 15$, отримаємо квадратне рівняння відносно $r_2$:

$\frac{289}{2r_2} + r_2 = 15$

Розв'язавши це рівняння, ми знайдемо значення $r_2$, а потім можемо знайти $r_1$ з першого рівняння.