Question

Точка M на стороне AD прямоугольника ABCD такова, что AB=AM=MD/2. Найдите сумму ∠CAD+∠CMD.

Answer 1

Ответ:

45° ;  публикую 2 решения - с тригонометрией и без неё , тригонометрическое короче , бывают  и такие задачи , как правило тригонометрия делает решение сложнее , но не всегда :

Объяснение:

Answer 2

Обозначим точку M на стороне AD прямоугольника ABCD так, что AB = AM = MD/2.

Поскольку AB = AM, треугольник ABM является равнобедренным треугольником. Значит, ∠AMB = ∠BAM.

Также, поскольку AB = MD/2 и AM = MD/2, то треугольник AMD также является равнобедренным. Значит, ∠AMD = ∠MAD.

Обозначим ∠CAD = x и ∠MAD = y.

Так как угол при вершине треугольника равен сумме двух других углов, имеем:

∠BAD + ∠ABM + ∠MAD = 180°.

Так как ∠BAD = 90° (прямой угол), ∠ABM = ∠AMB и ∠MAD = ∠AMD, то:

90° + ∠AMB + ∠AMD = 180°.

Учитывая, что ∠AMB = ∠BAM и ∠AMD = ∠MAD, можно записать:

90° + ∠BAM + ∠MAD = 180°.

Поскольку AB = AM, ∠BAM = ∠ABM, и получаем:

90° + ∠ABM + ∠MAD = 180°.

Из этого уравнения можно выразить ∠ABM:

∠ABM = 180° - 90° - ∠MAD.

∠ABM = 90° - ∠MAD.

Теперь рассмотрим треугольник CMD. Угол при вершине треугольника равен сумме двух других углов, поэтому:

∠CMD + ∠MCD + ∠MAD = 180°.

Заметим, что ∠MAD = y и ∠MCD = ∠ABM (по свойству противоположных углов при пересечении прямых), поэтому:

∠CMD + ∠ABM + y = 180°.

Используя равенство, которое мы получили ранее для ∠ABM, можем записать:

∠CMD + (90° - y) + y = 180°.

Упрощая, получаем:

∠CMD + 90° = 180°.

∠CMD = 180° - 90°.

∠CMD = 90°.

Таким образом, мы нашли значение ∠CMD.

Теперь можем выразить ∠CAD + ∠CMD через известные углы:

∠CAD + ∠CMD = x + 90°.

Таким образом, сумма ∠CAD + ∠CMD равна x + 90°.