Question

№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SABCD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.

Answer 1

Ответ:

$OP_1=1$ ед.

Объяснение:

Конус описан около четырёхугольной пирамиды по условию. $SA=SB=SC=SD$, как образующие конуса.

⇒ Боковые грани данной четырёхугольной пирамиды - равные равнобедренные треугольники

$SA=SB=SC=SD$ и все плоские углы при вершине $S$ составляют по $60^{\circ}$ каждый.

Так как боковые грани равны ⇒ $AB=BC=CD=DA$

⇒ четырёхугольник $ABCD$ - квадрат

(Поясню, почему четырёхугольник $ABCD$ не может быть ромбом. Есть теорема и звучит она так : если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Ромб - это параллелограмм, у которого противоположные углы равны. Поэтому если противоположные равны $120^{\circ}$, к примеру, то их сумма $\neq 180^{\circ}$. Значит, ромб нельзя вписать в окружность)

=======================================================

⇒ данная четырёхугольная пирамида - правильная.

Значит, её боковые грани - равносторонние треугольники, т.к. углы при вершине $S$ составляют по $60^{\circ}$ каждый.

Из всех четырёхугольников, вписанных в окружность, наибольшая площадь у квадрата.

Также из прямоугольных треугольников с равной гипотенузой, наибольшая площадь у равнобедренного.

Найдём, при каком положении точки $P$ площадь основания наибольшая. Это будет середина дуги $BC$.

Значит, площадь пятиугольника $ABPCD$ будет наибольшей.

Тогда объём пятиугольной пирамиды $SABPCD$ будет тоже наибольшим.

Обозначим на грани $SAB$ точку $P_1$.

Так как точка $P$ по отношению к грани $SAB$ также расположена, как и точка $O \Rightarrow$ $OP_1$ - расстояние от точки

Радиус конуса равен половине диагонали $BD$ квадрата $ABCD$.

$\Rightarrow BD=BO\cdot 2=\sqrt{3}\cdot2=2\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ ед.

$BD=AB\cdot \sqrt{2} \Rightarrow AB=BD:\sqrt{2}=2\sqrt{3}:\sqrt{2}=\sqrt{6}$ ед.

Так как боковые грани данной четырёхугольной пирамиды - равносторонние треугольники и они включают в себя по одной стороне основания данной пирамиды ⇒ $SA=SB=SC=SD=\sqrt{6}$ ед.

$\triangle SOB$ - прямоугольный, т.к. $SO$ - высота.

Найдём высоту $SO$ пирамиды $SABCD$ по теореме Пифагора:

$SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$ ед.

Проведём апофему $SH$ на сторону основания $AB$ данной пирамиды. Т. $P_1 \in SH$, т.к. $\triangle SOH$ - прямоугольный, а $OP_1$ - высота данного треугольника.

$OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ед.

Найдём апофему $SH$ по теореме Пифагора:

$SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+\Big(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Big)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ед.

Рассмотрим $\triangle SHO$ и $\triangle OP_1H$ :

$\angle SHO$ - общий.

$\angle SOH=\angle HP_1O=90^{\circ}$

$\Rightarrow \triangle SHO \sim \triangle OP_1H$ (по II признаку подобия треугольников).

$\Rightarrow \dfrac{OH}{SH}=\dfrac{P_1H}{OH} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{P_1H}{\dfrac{\sqrt{6}}{2}} \\ \\ \sqrt{6}\cdot P_1H=\sqrt{3} \\ \\ P_1H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдём $OP_1$ по теореме Пифагора:

$OP_1=\sqrt{OH^2-P_1H^2}=\sqrt{\Big(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Big)^2-\Big(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)^2}=1$ ед.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Ферма — принципом наименьшего времени. Если объем пирамиды SABPCD наибольший, то можно представить, что свет идет от точки P, отражается от грани SAB пирамиды и затем попадает в вершину S конуса. Таким образом, оптимальный путь света соответствует пути наименьшего времени.

Для начала, давайте рассмотрим плоскость SAB и найдем её уравнение. Поскольку все плоские углы при вершине S равны 60°, то можно сказать, что грани SAB и SAC равнобедренные треугольники. Пусть P - это точка на меньшей дуге BC. Тогда рассмотрим треугольник SPC.

Поскольку угол SCP равен 60° (половина плоского угла при вершине пирамиды), и угол PCS равен 30° (половина угла в основании конуса), у нас есть равенство углов между нормалями к плоскостям SAB и SCP (поскольку угол между нормалями равен углу между плоскостями). Это означает, что путь света от P до S после отражения будет противоположным пути света от P до точки пересечения нормали плоскости SAB и линии PC.

Таким образом, путь света будет наименьшим, когда точка P будет выбрана таким образом, что путь от P до точки пересечения нормали плоскости SAB и линии PC равен пути от P до S. Это означает, что треугольник PSC будет равнобедренным, и угол CPS также будет 30°.

Теперь мы имеем треугольник PCS, в котором у нас известны угол CPS (30°), сторона PS (равна радиусу конуса √3) и сторона PC (равна радиусу конуса √3). Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти сторону SC, а затем использовать это расстояние для нахождения расстояния от точки P до плоскости SAB.

Пусть a - сторона PS, b - сторона PC, c - сторона SC. Используем закон синусов:

$\frac{a}{\sin(\angle CPS)} = \frac{c}{\sin(\angle PCS)}$

Подставляем известные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{\sin(30°)} = \frac{c}{\sin(60°)}$

Отсюда находим:

$c = \sqrt{3}$

Теперь у нас есть расстояние SC от вершины S пирамиды до точки P на плоскости SAB. Так как треугольник SPC - равнобедренный, можно сказать, что угол SPB также равен 30°. Тогда треугольник SPB - равнобедренный, и мы можем использовать его для нахождения расстояния от точки P до плоскости SAB:

$PS \cdot \tan(\angle SPB) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \tan(30°) = 1$

Итак, расстояние от точки P до плоскости SAB равно 1.