Question

На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E соответственно. X — точка пересечения отрезков BE и CD. В точке A находится масса 6. Какие массы надо поместить в точки B и C, чтобы центр масс треугольника попал в точку X, если AD:DB=1:1, AE:EC=3:1?

Answer 1

Ответ:

Точка В масса 6. Точка С масса 18

Объяснение:

В точке В масса 6 соответствует массе точки А, т.к. точка D - это середина отрезка АВ. В точке С масса равна 3*6 т.к отрезок АС делится в отношении 3 к 1 считая от точки С. Отсюда и следует что масса точки С в ТРИ раза больше массы точки А.

Answer 2

Пусть $m_B$ - масса в точке B и $m_C$ - масса в точке C.

Мы хотим найти такие значения $m_B$ и $m_C$, чтобы центр масс треугольника $ABC$ совпал с точкой $X$, то есть среднее арифметическое $B$ и $C$, так как $X$ лежит на отрезке $BE$ и $CD$, и поэтому делит их в отношении $1:1$.

Масса центра масс треугольника $ABC$ определяется как взвешенное среднее масс $B$ и $C$ с коэффициентами, соответствующими долям отношений $AX$ к $BX$ и $CX$:

$$m_X = \frac{AX}{AX + BX} \cdot m_B + \frac{CX}{CX + AX} \cdot m_C$$

Согласно условиям задачи, $AX = BX = CX$, так как $X$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$. Таким образом, можно упростить формулу:

$$m_X = \frac{1}{2} m_B + \frac{1}{2} m_C$$

Также из условия $AD:DB=1:1$ и $AE:EC=3:1$ следует, что

$$m_A = m_D + m_B = 2m_B \quad \text{и} \quad m_A = m_E + m_C = 4m_C$$

Из этих уравнений мы можем выразить $m_B$ и $m_C$ через $m_A$:

$$m_B = \frac{1}{2} m_A \quad \text{и} \quad m_C = \frac{1}{4} m_A$$

Теперь подставим эти значения $m_B$ и $m_C$ в уравнение для $m_X$:

$$m_X = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m_A + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} m_A = \frac{5}{16} m_A$$

Исходя из этого, чтобы центр масс треугольника (ABC