Question

В треугольнике ABC с углом B, равным 120градусам, проведены биссектрисы BB1, AA1, CC1. Чему равен угол A1B1C1?

Answer 1

Пусть AA1, BB1 и CC1 – биссектрисы треугольника ABC и ∠B = 120°.  На продолжении стороны AB за точку B возьмём точку K. Поскольку

∠A1BK = 180° – 120° = 60° = ∠B1BE, то BA1 – биссектриса угла B1BK, смежного с углом ABB1. Поэтому точка A1 равноудалена от прямых AB и B1B, а так как она лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от прямых AB и CB1. Значит, точка A1 равноудалена от сторон угла BB1C, то есть B1A1 – биссектриса угла BB1C. Аналогично B1C1 – биссектриса угла AB1B.  

Следовательно, (∠AB1B + ∠BB1C) = ½ *180° = 90°.

Answer 2

В данной ситуации угол B равен 120 градусам, что является дополнительным углом к углу A в треугольнике ABC (угол A + угол B = 180 градусов). Таким образом, угол A равен 60 градусам.

Биссектрисы треугольника делят его углы пополам. Так как угол A равен 60 градусам, биссектриса AA1 делит его на два равных угла, каждый по 30 градусов. Аналогично, биссектриса BB1 делит угол B (120 градусов) на два равных угла, также по 60 градусов.

Теперь обратим внимание на треугольник A1B1C1. Так как угол A1B1C1 образован пересечением биссектрис AA1 и BB1, то каждый из его углов будет равен сумме углов, на которые биссектрисы делят углы треугольника ABC.

Угол A1B1C1 = угол A1BB1 + угол A1AA1 + угол B1AA1.

Поскольку биссектриса AA1 делит угол A на два угла по 30 градусов, а биссектриса BB1 делит угол B на два угла по 60 градусов, получаем:

Угол A1BB1 = 30 градусов, Угол A1AA1 = 30 градусов, Угол B1AA1 = 60 градусов.

Таким образом, сумма этих углов составляет:

Угол A1B1C1 = 30 + 30 + 60 = 120 градусов.

Итак, угол A1B1C1 равен 120 градусам.