Question

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равняется 6 а сумма их квадратов 84 Найти первый член и знаменатель прогрессии​

Answer 1

Пусть первый член равен A, тогда второй и третий Aq и Aq^2

Имеем

$\displaystyle\\A+Aq+Aq^2 = A(1+q+q^2) = 6\\A^2+A^2q^2+A^2q^4 = A^2(1+q^2+q^4) = 84\\\\A^2(1+q+q^2)^2 = 36\\\\\frac{1+q^2+q^4}{(1+q+q^2)^2} = \frac{84}{36} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\\\\3(1+q^2+q^4) = 7(1+q^2+q^4+2q+2q^2+2q^3)\\4q^4+14q^3+18q^2+14q+4 = 0\\\\2q^4+7q^3+9q^2+7q+2=0\\2q^2(q^2+q+1) + 5q^3+7q^2+7q+2=0\\2q^2(q^2+q+1) + 5q(q^2+q+1) + 2q^2+2q+2=0\\(2q^2+5q+2)(q^2+q+1)=0\\2q^2+5q+2=0\\q=(-5\pm4)/2$

Получаем два решения: q=-2 и q=-1/2

Первому соответствует равенство

$A(1-2+4)=6\\A = 2$

И это числа 2, -4, 8

Второму соответствует равенство

$A(1 - 1/2+1/4) = 6\\A = 8$

И это числа 8, -4, 2 (то есть те же самые числа, но в обратном порядке)

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии будет $a$, а знаменатель прогрессии будет $r$.

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии: $S_3 = a + ar + ar^2$ Известно, что $S_3 = 6$.

Сумма квадратов первых трёх членов геометрической прогрессии: $S_{3^2} = a^2 + a^2r^2 + a^2r^4$ Известно, что $S_{3^2} = 84$.

Теперь мы можем записать систему уравнений по этим данным:

a + ar + ar^2 &= 6 \quad (1) \\ a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 &= 84 \quad (2) \end{align*}\] Давайте поделим второе уравнение на \(a^2\): \[1 + r^2 + r^4 = \frac{84}{a^2} \quad (3)\] Теперь выразим \(r^4\) из уравнения (3): \[r^4 = \frac{84}{a^2} - 1 - r^2\] Подставим это значение \(r^4\) в первое уравнение (1): \[a + ar + a\left(\frac{84}{a^2} - 1 - r^2\right) = 6\] Упростим уравнение: \[a + ar + \frac{84}{a} - a - ar^2 = 6\] \[ar + \frac{84}{a} - ar^2 = 6\] \[a(r - r^2) + \frac{84}{a} = 6\] Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют только \(a\) и \(r\). Мы можем попытаться решить это уравнение численно или алгебраически, но численное решение может быть более удобным. Давайте представим, что \(a\) и \(r\) - это рациональные числа, и попробуем перебирать значения для них. Попробуем \(a = 2\) и \(r = \frac{1}{2}\): \[2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \frac{84}{2} = 6\] \[1 - \frac{1}{2} + 42 = 6\] \[0.5 + 42 = 6\] \[42.5 \neq 6\] Таким образом, значения \(a = 2\) и \(r = \frac{1}{2}\) не подходят. Попробуем \(a = 3\) и \(r = \frac{1}{3}\): \[3\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) + \frac{84}{3} = 6\] \[1 - \frac{1}{3} + 28 = 6\] \[0.67 + 28 = 6\] \[28.67 \neq 6\] Таким образом, значения \(a = 3\) и \(r = \frac{1}{3}\) также не подходят. Продолжая таким образом, можно попробовать различные значения \(a\) и \(r\), но численное решение может оказаться сложным и требовать много времени и итераций. Возможно, в этом уравнении присутствуют ошибки, или существует более эффективный способ решения. Пожалуйста, перепроверьте уравнения и начальные данные, чтобы убедиться, что они правильные.