Question

50 БАЛЛОВ. Хелп, задача из ЕГЭ по профильной математике. Окружность радиусом 15, вписанная в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону этого треугольника в отношении 2:3, считая от вершины основания. Во сколько раз длина окружности, описанной около этого треугольника, превосходит число π?​

Answer 1

Ответ:

в 62,5 раз

Объяснение:

обозначим вершины треугольника А В С с основанием АС, центром вписанной окружности О, а точки касания окружности со сторонами треугольника К Е Д, а отношение отрезков стороны как 2х и 3х. Так как ∆АВС равнобедренный, то АВ=ВС и ВЕ/ЕС=2/3. Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности и касательные, соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания, поэтому ВК=ВЕ=2х, АК=АД=3х, ЕС=СД=3х. Итак: стороны треугольника составят:

АВ=ВС=2х+3х=5х

АС=3х+3х=6х

Теперь найдём стороны треугольника используя формулу нахождения радиуса вписанной окружности. Составим уравнение:

$\frac{ac}{2} \times \sqrt{ \frac{2ab - ac}{2ab + ac} } = r$

$\frac{6x}{2} + \sqrt{ \frac{2 \times 5x - 6x}{2 \times 5x + 6x} } = 15$

$3x \times \sqrt{ \frac{10x - 6x}{10x + 6x} } = 15$

$3x \times \sqrt{ \frac{4x}{16x} } = 15$

$3x \times \frac{2}{4} = 15$

3x×0,5=15

1,5x=15

x=15÷1,5=10

Тогда стороны треугольника составят:

АВ=ВС=5×10=50

АС=6×10=60

Теперь найдём радиус описанной окружности, зная стороны треугольника по формуле:

R=

$\frac{ab {}^{2} }{ \sqrt{(2ab) {}^{2} - ac {}^{2} } }$

$\frac{50 {}^{2} }{ \sqrt{(2 \times 50) {}^{2} - 60 {}^{2} } } = \frac{2500}{ \sqrt{100 {}^{2} - 3600} } = \frac{2500}{ \sqrt{10000 - 3600} } = \frac{2500}{ \sqrt{6400} } = \frac{2500}{80} = 31.25$

Итак: радиус описанной окружности R=31,25 и теперь найдём длину окружности по формуле: L=2πR=

=2π×31,25=62,5π;

Чтобы узнать во сколько раз длина описанной окружности превосходит число π, нужно полученный результат разделить на π:

62,5π÷π=62,5

Answer 2

Давайте разберем задачу поэтапно.

1. Мы имеем равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиусом 15.

2. Боковая сторона треугольника делится этой окружностью в отношении 2:3, начиная от вершины основания треугольника.

3. Нам нужно выразить отношение длины окружности, описанной вокруг данного треугольника, к числу π.

Давайте обозначим точки, чтобы проще было работать с задачей:

Пусть A, B и C - вершины равнобедренного треугольника (где A - вершина, а BC - основание).

Пусть O - центр вписанной окружности, а P - точка пересечения боковой стороны BC с окружностью.

Также пусть Q - центр описанной окружности.

Теперь у нас есть следующая информация:

1. Длина боковой стороны BC делится отношением 2:3. Это означает, что BP = 2x, PC = 3x, где x - некоторая положительная длина.

2. Поскольку BP = 2x и PC = 3x, то всего BC = 5x.

3. Так как O - центр вписанной окружности, радиус которой равен 15, OP = 15.

4. Треугольник BPO - прямоугольный, так как радиус вписанной окружности перпендикулярен к стороне треугольника в точке касания.

5. Таким образом, по теореме Пифагора, BP^2 + PO^2 = BO^2.

   (2x)^2 + 15^2 = BO^2,

   4x^2 + 225 = BO^2.

6. Также мы знаем, что BO = 2 * BP, так как BO - это диаметр вписанной окружности.

7. BO = 2 * 2x = 4x.

8. Из уравнений 4 и 7, получаем: BO^2 = 16x^2.

9. Теперь можем приравнять BO^2 из пункта 8 и BO^2 из пункта 5:

   16x^2 = 4x^2 + 225,

   12x^2 = 225,

   x^2 = 225 / 12,

   x^2 = 18.75,

   x = √18.75,

   x ≈ 4.33.

10. Теперь мы можем найти длину BC:

    BC = 5x ≈ 21.65.

11. Окружность, описанная вокруг треугольника, имеет радиус равный BP = 2x ≈ 8.66.

12. Длина окружности равна 2πr, где r - радиус окружности:

    Длина окружности = 2 * π * 8.66 ≈ 54.40.

13. Теперь можем найти, во сколько раз длина окружности, описанной вокруг треугольника, превосходит число π:

    Ответ: 54.40 / π ≈ 17.31.

Итак, длина окружности, описанной вокруг данного треугольника, превосходит число π примерно в 17.31 раза.