Question

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=10 и AC=13. Чему должна быть равна длина стороны BC, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной BC делили её на три равных отрезка?

Answer 1

Ответ:3

Объяснение:Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формуле, (вот эту формулу училка явно будет спрашивать , изучи откуда она взялась, наверное , проходили)

​​ y=(BC+AB−AC)/2, у - это расстояние от точки B до места касания окружности. (ну, или одна из трех отрезков , ведь они равны по условию)

ВС разделен на 3 равных части. => BC = 3*y

у=(3*у + АВ - АС)/2

2*у= 3*у+АВ -АС

-АВ + АС = 3*у - 2* у

у = АС - АВ , у = 13-10 = 3. Ответ: 3

Но это не точно ;D

​​

Answer 2

Пусть точка касания вписанной окружности со стороной BC обозначается как D, а точка касания вневписанной окружности (касающейся стороны BC) обозначается как E. Также пусть X и Y - точки деления стороны BC на три равных отрезка.

Сначала рассмотрим точку касания вписанной окружности. Для треугольника ABC, радиус вписанной окружности (r) можно найти через полупериметр (p) и площадь (S) треугольника:

$S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - AC) \cdot (p - BC)}$

$p = \frac{AB + AC + BC}{2}$

$r = \frac{S}{p}$

Аналогично, для точки касания вневписанной окружности можно найти радиус вневписанной окружности (R), используя тот же полупериметр (p) и площадь (S') треугольника:

$S' = p \cdot (p - AB) \cdot (p - AC) \cdot (p - BC)$

$R = \frac{S'}{p - BC}$

Теперь, чтобы точки касания делили сторону BC на три равных отрезка, сумма отрезков XB и BY должна быть равна длине стороны BC:

$XB + BY = BC$

Учитывая, что точка касания вписанной окружности делит сторону BC в отношении радиусов (то есть XB = r), а точка касания вневписанной окружности делит сторону BC в отношении радиусов (то есть BY = R), мы можем записать:

$r + R = BC$

Теперь мы можем подставить выражения для r и R:

$\frac{S}{p} + \frac{S'}{p - BC} = BC$

Подставим выражения для S и S':

$\frac{\sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - AC) \cdot (p - BC)}}{p} + \frac{p \cdot (p - AB) \cdot (p - AC) \cdot (p - BC)}{p - BC} = BC$

Учитывая известные значения AB и AC, уравнение становится:

$\frac{\sqrt{p \cdot (p - 10) \cdot (p - 13) \cdot (p - BC)}}{p} + \frac{p \cdot (p - 10) \cdot (p - 13) \cdot (p - BC)}{p - BC} = BC$

Где p - BC является знаменателем во втором слагаемом дроби. Теперь мы можем решить это уравнение численно, найдя значение BC, которое соответствует условию, что точки касания делят сторону BC на три равных отрезка.