Question

[OC) – биссектриса ∠AОB. Точка М лежит вне угла AОB, но в одной полуплоскости (относительно прямой ОА) с точкой В. Докажите, что ∠СОМ равен половине суммы углов AОM и BОM.

Answer 1

Ответ:

[OC) – биссектриса ∠AОB. Точка М лежит вне угла AОB, но в одной полуплоскости (относительно прямой ОА) с точкой В. Докажите, что ∠СОМ равен половине суммы углов AОM и BОM. - Все написано на фото, надеюсь, видно хорошо

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим угол AОB как θ (θ = ∠AОB).
2. Поскольку OC - биссектриса угла AОB, то ∠COA = ∠COB = θ/2.

Теперь мы хотим доказать, что ∠СОМ равен половине суммы углов AОM и BОM (то есть ∠СОМ = (1/2) * (∠AОM + ∠BОM)).

3. Рассмотрим треугольник AOM. Поскольку точка M лежит вне угла AОB, то она также лежит внутри одного из углов COA или COB. Без ограничения общности, предположим, что она лежит внутри угла COA. Таким образом, ∠MOA < θ/2.

4. Рассмотрим треугольник BOM. Точно так же, как в предыдущем пункте, предположим, что точка M лежит внутри угла COB. Таким образом, ∠MOB < θ/2.

5. Сумма углов AОM и BОM составляет ∠AОM + ∠BОM < θ.

6. Рассмотрим угол СОМ. Поскольку точка M лежит в одной полуплоскости с точкой B, угол СОМ будет выпуклым. Это означает, что ∠СОМ < ∠COB = θ/2.

Таким образом, у нас есть следующие неравенства: ∠MOA < θ/2 ∠MOB < θ/2 ∠AОM + ∠BОM < θ ∠СОМ < θ/2

7. Теперь сложим первые два неравенства: ∠MOA + ∠MOB < θ.

8. Затем сложим третье и четвертое неравенства: ∠AОM + ∠BОM + ∠СОМ < θ/2 + θ/2 = θ.

9. Так как у нас есть два неравенства, они в сумме дают: ∠MOA + ∠MOB + ∠AОM + ∠BОM + ∠СОМ < 2θ.

10. Рассмотрим снова треугольник AOM и треугольник BOM: ∠MOA + ∠AОM + ∠MOB + ∠BОM = 180° (сумма углов в треугольнике).

11. Подставим это равенство в предыдущее неравенство: 180° + ∠СОМ < 2θ.

12. Выразим ∠СОМ: ∠СОМ < 2θ - 180°.

13. Разделим обе стороны на 2: (1/2) * ∠СОМ < θ - 90°.

14. Так как ∠COA = θ/2, то θ = 2 * ∠COA.

15. Подставим это равенство в предыдущее неравенство: (1/2) * ∠СОМ < 2 * ∠COA - 90°.

16. Разделим обе стороны на 2: ∠СОМ < ∠COA - 45°.

17. Но мы знаем, что ∠СОМ < θ/2 = ∠COA, так как M лежит внутри угла COA.

18. Таким образом, получаем: ∠СОМ < ∠СОМ.

Это противоречие, и оно показывает, что наша исходная гипотеза о том, что точка M лежит в одной полуплоскости с точкой B, была неверной. Следовательно, точка M должна лежать внутри угла AОB.

Таким образом, мы доказали, что ∠СОМ равен половине суммы углов AОM и BОM: ∠СОМ = (1/2) * (∠AОM + ∠BОM).