Question

M — точка пересечения медиан треугольника ABC . Известно, что∠CAM=∠CBM . Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Определите площадь треугольника ABC , если AC=5 ,MC=2 .

Answer 1

AA1, BB1, CC1 - медианы.

Треугольники CAA1 и CBB1 подобны по двум углам (С - общий).

Медианы треугольника делятся точкой пересечения (M) в отношении 2:1 от вершины.

Точка M делит соответствующие стороны подобных треугольников в равном отношении.

Отрезок CM является соответствующим элементом подобных треугольников, следовательно треугольники подобны с коэффициентом 1, то есть равны.

△CAA1=△CBB1, AC=BC, △ABC - равнобедренный.

CC1 =3/2 MC =3

Медиана CC1 является также высотой.

По теореме Пифагора AC1=4 =AB/2

S(ABC) =1/2 AB*CC1 =4*3 =12

Answer 2

Дано, что точка M — точка пересечения медиан треугольника ABC, а также известно, что ∠CAM = ∠CBM. Нам нужно доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть две его стороны равны.

Давайте обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC как O (центр тяжести треугольника). Поскольку точка O делит медиану на отрезки, пропорциональные длинам других сторон, мы можем представить AC как 2:1, так как MC делит AM в отношении 1:1 (поскольку M — центр тяжести медианы AM). Таким образом, мы можем сказать, что AM = 2 * MC = 4.

Теперь мы знаем, что ∠CAM = ∠CBM. Рассмотрим треугольники AMC и BMC. У них общий угол CAM (CBM), и у нас есть две равные стороны: AC и MC (так как AC = 5 и MC = 2). Поэтому треугольники AMC и BMC подобны по стороне-стороне (SAS), и отсюда следует, что ∠ACM = ∠BCM.

Теперь мы имеем два равных угла ∠CAM и ∠ACM, а также два равных угла ∠CBM и ∠BCM. Таким образом, у нас есть две пары равных углов, что говорит о том, что треугольник ABC имеет две равные стороны: AC и BC.

Таким образом, треугольник ABC действительно равнобедренный.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, давайте воспользуемся формулой для площади треугольника через медиану:

Площадь треугольника = (2/3) * Площадь треугольника, образованного медианами.

Площадь треугольника, образованного медианами, можно вычислить по формуле:

Площадь треугольника, образованного медианами = (4/3) * S,

где S — площадь исходного треугольника ABC.

Таким образом, площадь треугольника ABC = (3/2) * Площадь треугольника, образованного медианами.

Подставляя известные значения (AC = 5 и MC = 2), площадь треугольника ABC можно найти следующим образом:

Площадь треугольника ABC = (3/2) * (4/3) * S = 2S.

Итак, площадь треугольника ABC равна 2S, где S — площадь треугольника.