Question

Докажите что у выпуклого многоугольника может быть не более трех тупых внешних углов​

Answer 1

Ответ:

Если у выпуклого многоугольника более трёх острых внутренних углов, то среди его внешних углов более трёх тупых, что невозможно, поскольку сумма всех его внешних углов равна 360°.

Answer 2

Докажем данное утверждение.

Пусть у нас есть выпуклый многоугольник. Предположим, что у него больше трех тупых внешних углов. Рассмотрим четыре (или более) таких угла. Обозначим их как A, B, C и D.

1. Внешний угол A: Так как A - внешний угол, мы можем провести прямую через вершину A, которая будет продолжением одной из его сторон. Допустим, это продолжение стороны AD.

2. Внешний угол B: Теперь рассмотрим вершину B. Так как B - внешний угол, мы можем провести прямую через вершину B, которая будет продолжением одной из его сторон. Однако сторона BC не может быть продолжением стороны AD, так как это противоречило бы выпуклости многоугольника. Следовательно, сторона BC пересечет продолжение стороны AD в точке E.

3. Внешний угол C: Аналогично, рассмотрим вершину C. Проведем прямую через вершину C, которая будет продолжением одной из его сторон. Так как сторона BC пересекает сторону AD в точке E, сторона AC не может быть продолжением стороны BC, чтобы не нарушить выпуклость многоугольника. Следовательно, сторона AC пересечет продолжение стороны BC в точке F.

Теперь у нас есть две возможности:

• Стороны AD и CF пересекутся внутри многоугольника. Но это противоречит определению выпуклого многоугольника, так как стороны не должны пересекаться внутри многоугольника.

• Стороны AD и CF не пересекутся. В этом случае, мы видим, что угол DCF - внутренний угол многоугольника, что также противоречит определению выпуклости.

Таким образом, предположение о том, что у нас есть более трех тупых внешних углов, приводит к противоречию. Следовательно, выпуклый многоугольник не может иметь более трех тупых внешних углов.