Question

Окружность, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания и пересекает боковые стороны AB, CD в точках M и N соответственно. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен 3 и AM:MB=DN:NC=2:1

Answer 1

По обратной теореме Фалеса

AM/DN=MB/NC => AD||MN||BC  

AMND - вписанная трапеция, следовательно равнобедренная. Тогда трапеция ABCD также равнобедренная.  

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, OE⊥BC => OE⊥AD

OE - общий серединный перпендикуляр к основаниям AD и BC, BE=EC  

△AMO~△BMF, AO/BF =AM/BM =MO/MF =2/1

BF=OA/2 =3/2

OF=3/2 OM =9/2

FE =√(OF^2 -OE^2) =√(81/4 -9) = 3√5/2

BC =2BE =2(FE-BF) =3√5 -3

Answer 2

Обозначим меньшее основание трапеции ABCD как $BC = x$.

Из условия $AM:MB = 2:1$ можно сказать, что $AM = 2k$ и $MB = k$, где $k$ - некоторая положительная константа.

Также, из условия $DN:NC = 2:1$, мы имеем $DN = 2m$ и $NC = m$, где $m$ - тоже некоторая положительная константа.

Так как окружность построена на большем основании AD как на диаметре, она проходит через точки A и D.

Посмотрим на треугольник AMD. Так как AM - диаметр окружности, то угол AMD - прямой угол. Значит, треугольник AMD - это прямоугольный треугольник.

Аналогично, рассмотрим треугольник BNC. Он также будет прямоугольным.

Теперь, давайте воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников AMD и BNC:

Для треугольника AMD: $AM^2 + MD^2 = AD^2$ $AM^2 + (AB + BD)^2 = AD^2$ $AM^2 + (x + BC)^2 = AD^2$ $(2k)^2 + (x + x)^2 = AD^2$ $4k^2 + 4x^2 = AD^2$

Для треугольника BNC: $BN^2 + NC^2 = BC^2$ $(BN + NC)^2 - 2 \cdot BN \cdot NC = BC^2$ $(2m)^2 + (m + x)^2 = x^2$ $4m^2 + m^2 + 2mx + x^2 = x^2$ $5m^2 + 2mx = 0$

Теперь мы можем решить второе уравнение относительно $x$:

$5m^2 + 2mx = 0$ $x(2m + 5k) = 0$

Так как $x$ является длиной отрезка и не может быть равен нулю, то получаем: $2m + 5k = 0$ $2m = -5k$

Зная, что $AM:MB = 2:1$, мы можем предположить, что $k = 2$ и $m = -5$.

Тогда: $BC = x = 2m = -10$

Однако длина не может быть отрицательной, поэтому мы делаем вывод, что в нашем предположении $m = -5$ не является правильным.

Попробуем другие значения для $k$ и $m$. Мы знаем, что $AM:MB = 2:1$ и $DN:NC = 2:1$. Мы также хотим, чтобы радиус окружности был положительным числом. Попробуем $k = 1$ и $m = 2$.

Тогда: $AM = 2k = 2$ $MB = k = 1$ $DN = 2m = 4$ $NC = m = 2$

Теперь мы можем рассчитать $AD$ и $BC$:

$AD = AM + MD = 2 + 2 = 4$ $BC = x = AM - MB = 2 - 1 = 1$

Окончательно, меньшее основание трапеции $BC$ равно 1.