Question

Дана треугольная призма ABCA1B1C1, где A (1, 7, 4), B (1, 2, –1), C (4, 3, 1), A1 (1, –4, 2). Найдите: а) объем призмы ABCA1B1C1; б) площадь грани АСС1А1; в) высоту призмы; г) угол между ребрами BС и АA1; д) угол между гранями ABB1A1 и A1B1С1.

Answer 1

Дана треугольная призма ABCA1B1C1, где A (1, 7, 4), B (1, 2, –1), C (4, 3, 1), A1 (1, –4, 2).

Найдите: а) объем призмы ABCA1B1C1;

Находим векторы:

АВ 0 -5 -5 0 -5

АС 3 -4 -3 3 -4

АА_1 -3 -7 1 -3 -7

Находим смешанное произведение векторов

0 -45 105

-60 0 -15 =

= 0 + (-45) + 105 - 60 - 0 - (-15) = 135 .

V = 135/2 = 67,5 куб.ед.

б) площадь грани АСС1А1;

Векторы найдены: АС 3 -4 -3

АА_1 -3 -7 1

Находим их векторное произведение.

i j k i j

-3 -7 1 -3 -7 АА_1

3 -4 -3 3 -4 АС

i* 21 j* 3 k* 12 I = j = k =

j* 9 i* -4 k* -21 = -4 -6 33

16 36 1089 = 1141.

S = √1141 = 33,77869151.

в) высоту призмы;

Находим площадь основания.

i j k i j

0 -5 -5 0 -5 АВ

3 -4 -3 3 -4 АС

i* 15 j* -15 k* 0 I = j = k =

j* 0 i* 20 k* -15 = -5 -15 15

25 225 225 = 475.

So = (1/2)√475 = 10,89724736 .

Тогда H = V/So = 67,5/((1/2)√475) = 6,194224815

г) угол между ребрами BС и АA1;

Вектор ВС  

x     y       z

3     1      2                                модуль равен √14

АА_1     -3     -7       1              модуль равен √59

cos a = (3*(-3) + 1*(-7) + 2*1)/(  √14*√59) = -14/√826  = -0,4871223

Угол равен 2,079587966  радиан или 119,1516136  градуса.

д) угол между гранями ABB1A1 и A1B1С1.

Находим уравнения плоскостей по трём точкам:

плоскость АВВ1А1

-5 x + -15 y + 15 z + -85 = 0 .

плоскость А1В1С1.

Для этого добавляем недостающие координаты точек В1 и С1.

Точка В_1                 Точка С_1`  

x      y           z                       x        y          z

-2       -5  0                         1      -4          2 .

Уравнение:

-40 x + 15 y + -15 z + -5 = 0 .

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|                        250    

√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²) =  986,7877178

cos =  0,253347296

угол 1,314657448        75,32432328

        радиан                градус

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте последовательно рассмотрим каждый из пунктов:

а) Объем призмы ABCA1B1C1 можно найти, используя формулу для объема призмы: V = (площадь основания) * высота. Основание ABC имеет площадь, которую мы можем найти как площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника по его сторонам:

Первый вектор: AB = B - A = (1, 2, -1) - (1, 7, 4) = (0, -5, -5) Второй вектор: AC = C - A = (4, 3, 1) - (1, 7, 4) = (3, -4, -3)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC:

N = AB × AC N = (0, -5, -5) × (3, -4, -3) N = (-5 * -3 - -5 * -4, -5 * 3 - 0 * -3, 0 * -4 - -5 * 3) N = (-5, 15, -15)

Модуль вектора N: |N| = √((-5)^2 + 15^2 + (-15)^2) = √(25 + 225 + 225) = √675 = 15√3

Теперь можно найти площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона:

s = (a + b + c) / 2 = (|AB| + |AC| + |BC|) / 2 s = (5 + 15√3 + 5) / 2 = (10 + 15√3) / 2

Площадь треугольника ABC = √(s * (s - |AB|) * (s - |AC|) * (s - |BC|)) Площадь треугольника ABC = √((10 + 15√3) / 2 * (10 + 15√3) / 2 * (10 + 15√3) / 2 * (10 - 5) / 2) Площадь треугольника ABC = √(3375) / 4 = 15√15 / 2

Теперь можем найти высоту призмы, используя площадь основания ABC и объем V:

V = (площадь основания) * высота Высота = V / (площадь основания) Высота = (15√15 / 2) / (15√3) = √5 / 2

Теперь, когда у нас есть высота, перейдем ко второму пункту:

б) Площадь грани ACC1A1 можно найти как площадь треугольника ACC1. Вектор AC1 = A1 - A = (1, -4, 2) - (1, 7, 4) = (0, -11, -2)

Площадь треугольника ACC1 = 0.5 * |AC| * |AC1| = 0.5 * √(3^2 + (-4)^2 + (-3)^2) * √(0^2 + (-11)^2 + (-2)^2) Площадь треугольника ACC1 = 0.5 * √29 * √125 = 0.5 * √3625 = 0.5 * 5√145 = 2.5√145

в) Высота призмы уже была найдена ранее: √5 / 2.

г) Угол между ребрами BC и AA1 можно найти, используя скалярное произведение векторов BC и AA1:

cos(θ) = (BC ⋅ AA1) / (|BC| * |AA1|) BC = B - C = (1, 2, -1) - (4, 3, 1) = (-3, -1, -2) AA1 = A1 - A = (1, -4, 2) - (1, 7, 4) = (0, -11, -2)

BC ⋅ AA1 = -3 * 0 + -1 * -11 + -2 * -2 = 0 + 11 - 4 = 7 |BC| = √((-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2) = √14 |AA1| = √(0^2 + (-11)^2 + (-2)^2) = √125

cos(θ) = 7 / (√14 * √125) = 7 / (5√14) = (7√14) / 70 = √14 / 10

θ = arccos(√14 / 10)

д) Угол между гранями ABB1A1 и A1B1C1 можно найти, используя нормали этих граней. Нормаль к грани ABB1A1 это векторное произведение векторов AB и AB1, а нормаль к грани A1B1C1 это векторное произведение векторов A1B1 и A1C1.

AB1 = B1 - A = (1, 2, -1) - (1, -4, 2) = (0, 6, -3) A1C1 = C1 - A1 = (1, 2, -1) - (4, 3, 1) = (-3, -1, -2)

Нормаль к ABB1A1 = AB × AB1 Нормаль к A1B1C1 = A1B1 × A1C1

Нормаль к ABB1A1 = (0, -5, -5) × (0, 6, -3) = (-15, 0, 0) Нормаль к A1B1C1 = (0, 6, -