Question

О-точка пересечения медиан треугольника ABC,X произвольная точка плоскости. Докажите что вектор XО равно 1/3 (XA вектора + Вектор X B + Вектор XC) ​

Answer 1

Ответ:

здесь я использую теорему синусов:

a-сторона

sina-синус угла противолежащий стороне a

a/sina=2R

R=2r

r=оа

2R=4r

a/sina=4r

r=a/4sina

ну... тут получается я выразил оа без использования стороны b

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC и его медианы. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Пусть A, B и C - вершины треугольника ABC, а M_A, M_B и M_C - середины сторон BC, AC и AB соответственно. Пусть X - произвольная точка плоскости.

Для доказательства равенства векторов XО и 1/3 (XA + XB + XC), давайте воспользуемся векторной алгеброй.

1. Рассмотрим вектор OA и медиану M_A. Вектор OA = -1 * AO, где AO - вектор, направленный из точки A в точку O. Так как M_A - середина BC, то вектор M_A равен половине суммы векторов OB и OC: M_A = 1/2 * (OB + OC).

2. Аналогично для векторов OB и OC. Вектор OB = -1 * BO, где BO - вектор, направленный из точки B в точку O. Вектор OC = -1 * CO, где CO - вектор, направленный из точки C в точку O.

Теперь мы можем записать вектор XО как сумму трех векторов: XО = OA + OB + OC.

Подставим значения векторов, как мы их выразили:

XО = (-1 * AO) + (-1 * BO) + (-1 * CO) XО = -1 * (AO + BO + CO)

Теперь рассмотрим вектор XA + XB + XC:

XA + XB + XC = (-1 * AX) + (-1 * BX) + (-1 * CX) XA + XB + XC = -1 * (AX + BX + CX)

Сравним XО и XA + XB + XC:

XО = -1 * (AO + BO + CO) XA + XB + XC = -1 * (AX + BX + CX)

Видим, что оба выражения равны, просто в разных представлениях (точки вершин и точки пересечения медиан). Чтобы доказать равенство, осталось установить коэффициент перед векторами.

Мы видим, что XО = -1 * (AO + BO + CO), а XA + XB + XC = -1 * (AX + BX + CX). Для того чтобы одно выражение было равно другому, нам нужно умножить второе выражение на -1/3:

-1/3 * (XA + XB + XC) = 1/3 * (-AX - BX - CX) -1/3 * (XA + XB + XC) = 1/3 * (-1 * (AX + BX + CX)) -1/3 * (XA + XB + XC) = -1/3 * (AX + BX + CX)

Теперь у нас есть -1/3 * (XA + XB + XC) = -1/3 * (AX + BX + CX), что доказывает равенство векторов XО и 1/3 * (XA + XB + XC).

Таким образом, мы доказали, что вектор XО равен 1/3 * (XA + XB + XC).