Question

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника на 2√3 больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности. Найдите длину стороны треугольника.

Answer 1

Ответ:

сторона треугольника 12

Объяснение:

формула нахождения радиуса описанной окружности:

$R= \frac{a}{ \sqrt{3} }$

формула нахождения радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{a}{2 \sqrt{3} }$

где а - сторона треугольника, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности

Так как радиус описанной окружности больше вписанной, и зная их разницу составим уравнение:

$\frac{a }{ \sqrt{3} } - \frac{a}{2 \sqrt{3} } = 2 \sqrt{3}$

находим общий знаменатель:

$\frac{2a - a}{2 \sqrt{3} } = 2 \sqrt{3}$

$\frac{a}{2 \sqrt{3} } = 2 \sqrt{3}$

перемножим числитель и знаменатель соседних дробей между собой крест накрест и получим:

а=(2√3)²=4×3=12

Итак: сторона а= 12

Проверка: радиус описанной окружности=

$\frac{12}{ \sqrt{3} }$

радиус вписанной окружности:

$\frac{12}{2 \sqrt{3} } = \frac{6}{ \sqrt{3} }$

теперь вычтем их разницу

$\frac{12}{ \sqrt{3} } - 2 \sqrt{3} = \frac{12 - 2 \sqrt{3} \times \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{12 - 2 \times 3}{ \sqrt{3} } = = \frac{12 - 6}{ \sqrt{3} } = \frac{6 }{ \sqrt{3} }$

Answer 2

Пусть $R$ - радиус описанной окружности, а $r$ - радиус вписанной окружности правильного треугольника. Также пусть $s$ - длина стороны треугольника.

Известно, что для правильного треугольника верно следующее соотношение между радиусами описанной и вписанной окружностей:

$R = 2r.$

Также известно, что радиус описанной окружности связан с длиной стороны треугольника следующим образом:

$R = \frac{s}{2\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{s}{\sqrt{3}}.$

Подставив значение $R$ из первого уравнения во второе уравнение, получаем:

$\frac{s}{\sqrt{3}} = 2r.$

Отсюда можно выразить радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{s}{2\sqrt{3}}.$

Известно также, что площадь $S$ равностороннего треугольника можно выразить двумя разными способами:

$S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4} \quad \text{(через длину стороны)}$ $S = r \cdot s \quad \text{(через радиус вписанной окружности и полупериметр)}.$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$\frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{s}{2\sqrt{3}} \cdot s.$

Решая это уравнение относительно $s$, получаем длину стороны треугольника:

$s^2\sqrt{3} = s^2\sqrt{3}.$

Это уравнение верно для любой длины стороны $s$, что означает, что длина стороны треугольника может быть любой величиной, удовлетворяющей данной задаче.