Question

3. В треугольнике АВС, АВ = АС. Медиана к боковой стороне делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки, больший из которых равен 6. Найдите длину этой высоты. ​

Answer 1

Ответ:  9.

Объяснение:

Высота в данном случае является и медианой. Точка О пересечения медиан делит их, а значит и нашу высоту, в отношении 2:1.

Так как большая часть равна 6, то меньшая равна 3. Общая длина высоты равна BN=6+3=9.

Answer 2

Пусть треугольник ABC выглядит следующим образом:

cssCopy code
   A
  / \
 /___\
B     C

Дано, что AB = AC, и медиана BD (где D - середина AC) делит высоту AH (где H - основание) на две части, большая из которых равна 6.

Пусть точка D - середина AC, и точка E - точка пересечения медианы BD с высотой AH. Также пусть x обозначает длину отрезка AE, а y - длину отрезка EC.

Из того, что медиана делит сторону на две равные части, следует, что AD = DC, то есть x = y.

Из условия также известно, что больший отрезок, на который делится высота AH, равен 6. Следовательно, EH = 6.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник AHE. По теореме Пифагора:

AE^2 + EH^2 = AH^2.

Подставляем известные значения:

x^2 + 6^2 = (x + y)^2.

Раскрываем квадрат справа:

x^2 + 36 = x^2 + 2xy + y^2.

Используем x = y:

x^2 + 36 = x^2 + 2x^2 + x^2.

Упрощаем:

x^2 + 36 = 4x^2.

Выражаем x^2:

3x^2 = 36.

x^2 = 12.

x = √12.

Таким образом, длина отрезка AE (или x) равна √12, что можно упростить:

x = 2√3.

Так как x = y, то и длина отрезка EC (или y) также равна 2√3.

Наконец, чтобы найти длину высоты AH, мы можем рассмотреть треугольник ABC и воспользоваться теоремой Пифагора:

AH^2 = AC^2 - CH^2.

AC = 2 * AE = 2 * 2√3 = 4√3.

CH = EC = 2√3.

Подставляем значения:

AH^2 = (4√3)^2 - (2√3)^2 AH^2 = 48 - 12 AH^2 = 36.

AH = √36 = 6.

Таким образом, длина высоты AH треугольника ABC равна 6.