Question

Вычислить модуль тангенса угла при вершине равнобедренного треугольника с наибольшей площадью, при условии, что дана длина медианы, проведенной к боковой стороне данного треугольника. Записать ответ с точностью до сотых.​

Answer 1

Обозначим медиану AM = a, где a — постоянное число.

Пусть $AB=BC=x$ и $\angle ABC=\alpha$.

Достроим до параллелограмма $ABDC$, тогда по теореме: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон

$2(AB^2+AC^2)=AD^2+BC^2\\ \\ 2x^2+2AC^2=4AM^2+x^2\\ \\ AC^2=\frac{4a^2-x^2}{2}\\ \\ AC=\sqrt{\frac{4a^2-x^2}{2}}$

Далее проведём высоту $BH$ к стороне основания $AC$. Согласно теореме Пифагора $h=BH=\sqrt{x^2-(\frac{AC}{2})^2}=\sqrt{x^2-\frac{4a^2-x^2}{2}}=\sqrt{\frac{3x^2-4a^2}{2}}$.

Будем рассматривать следующую функцию площади тр-ка:

$S(x)=\frac{1}{2}AC\times h=\frac{1}{2}\times \sqrt{\frac{4a^2-x^2}{2}}\times \sqrt{\frac{3x^2-4a^2}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{-3x^4+16x^2a^2-16a^4}$

Под корнем выражение можно выделить в полный квадрат.

$S(x)=\frac{1}{4}\sqrt{-\left(\sqrt{3}x^2-\frac{8}{\sqrt{3}}a^2\right)^2+\frac{16a^4}{3}}$

Причем функция $S(x)$ принимает наибольшее значение при условии $\sqrt{3}x^2-\frac{8}{\sqrt{3}}a^2=0$ откуда $x=2a\sqrt{\frac{2}{3}}$ и её значение равно $\frac{a^2}{\sqrt{3}}$.

$\cos\alpha=\frac{h}{AB}=\frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть $\alpha=60^\circ$ и все углы по 60°, значит это равносторонний треугольник и тогда искомое значение $|{\rm tg}\alpha|=|{\rm tg}60^\circ|=\sqrt{3}\approx1{,}73$

Answer 2

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник, в котором $AB = AC$, и $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, где точка $M$ является серединой $BC$.

Обозначим $BM = MC = x$ (половина основания треугольника), а $AM = h$ (медиана).

Так как медиана в равнобедренном треугольнике также является биссектрисой и высотой, то $\angle BAM = \angle CAM$ и $\angle BAM = \angle CAM = \frac{1}{2}\angle BAC$. Таким образом, треугольник $ABC$ подразделяется на два прямоугольных треугольника $ABM$ и $ACM$.

Из прямоугольного треугольника $ABM$ мы можем найти тангенс угла $\angle BAM$ следующим образом: $\tan(\angle BAM) = \frac{AM}{BM} = \frac{h}{x}.$

Из прямоугольного треугольника $ACM$ мы можем найти тангенс угла $\angle CAM$ следующим образом: $\tan(\angle CAM) = \frac{AM}{CM} = \frac{h}{x}.$

Так как $\angle BAM = \angle CAM$, то $\tan(\angle BAM) = \tan(\angle CAM)$.

Итак, мы получили, что $\tan(\angle BAM) = \tan(\angle CAM) = \frac{h}{x}.$

Теперь давайте рассмотрим треугольник $AMB$. Мы знаем, что углы треугольника $AMB$ суммируются до $180^\circ$. Поскольку $\angle BAM = \angle CAM$, то $\angle AMB = \angle AMC$, и следовательно, $\angle BMC = 180^\circ - 2\angle AMB$.

Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике $BMC$: $\frac{x}{\sin(\angle BMC)} = \frac{h}{\sin(\angle AMB)}.$

Из уравнения $\angle BMC = 180^\circ - 2\angle AMB$ мы получаем $\sin(\angle BMC) = \sin(2\angle AMB)$.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение: $\frac{x}{\sin(2\angle AMB)} = \frac{h}{\sin(\angle AMB)}.$

Мы знаем, что $\tan(2\angle AMB) = \frac{2\tan(\angle AMB)}{1 - \tan^2(\angle AMB)}$, поэтому $\sin(2\angle AMB) = \frac{2\tan(\angle AMB)}{\sqrt{1 + \tan^2(\angle AMB)}}.$

Подставляя это обратно в уравнение, получаем: $\frac{x}{\frac{2\tan(\angle AMB)}{\sqrt{1 + \tan^2(\angle AMB)}}} = \frac{h}{\tan(\angle AMB)}.$

Упрощая уравнение: $\frac{x\sqrt{1 + \tan^2(\angle AMB)}}{2\tan(\angle AMB)} = \frac{h}{\tan(\angle AMB)}.$