Question

Дан прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6 и 4. Найди косинус острого угла между диагоналями прямоугольника 1) 3/5 2) 8/17 3) 5/13 Правильный ответ: 3) 5/13

Answer 1

Ответ:

3) 5/13

Объяснение:

Т. к. ∆ABC - п/у => по т. Пиф:

AC² = AB²+BC

AC² = 4²+6²

AC² = 52 => AC = 2√13

По св-в прям. : АО=OD=BO (по св-ву прям. АС=BD и т. пересеч. делятся пополам) => АО=ВО = ½АС => АО=ВО = ½*2√13 => АО=ВО = √13

По теореме косинусов:

${ab}^{2} = {ao}^{2} + {ob}^{2} - 2 \times ao \times ob \times cos \: aob \\ 2 \times ao \times ob \times cos \: aob = {ao}^{2} + {ob}^{2} - {ab}^{2} \\ cos \: aob = \frac{ {ao}^{2} + {bo}^{2} - {ab}^{2} }{2 \times ao \times ob} \\ cos \: aob \: = \frac{ { \sqrt{13} }^{2} + { \sqrt{13} }^{2} - {4}^{2} }{2 \times \sqrt{13} \times \sqrt{13} } \\ cos \: aob = \frac{13 + 13 - 16 }{2 \times 13} \\ cos \: aob = \frac{10}{ 2 \times 13} \\ cos \: aob = \frac{5}{13}$

Answer 2

Для нахождения косинуса острого угла между диагоналями прямоугольника можно воспользоваться следующей формулой:

$\cos(\theta) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}$

Где $a$ и $b$ - длины сторон прямоугольника (в данном случае, 6 и 4), а $c$ - длина диагонали прямоугольника. Для нахождения $c$ можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как диагональ, стороны прямоугольника и прямой угол образуют прямоугольный треугольник:

$c^2 = a^2 + b^2$

Подставляя значения $a = 6$ и $b = 4$, получаем:

$c^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$

$c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Теперь мы можем подставить значения $a$, $b$ и $c$ в формулу для косинуса:

$\cos(\theta) = \frac{{6^2 + 4^2 - (2\sqrt{13})^2}}{{2 \cdot 6 \cdot 4}} = \frac{{36 + 16 - 52}}{{48}} = \frac{0}{48} = 0$

Как видно, результат получился нулевым, что не совпадает с правильным ответом 3) $5/13$. Вероятно, в данном случае была допущена ошибка в решении.