Question

В треугольнике ABC проведены медианы BL и CN, пересекающиеся в точке М. Пусть 2 — середина отрезка BM, а R – середина СМ. Известно, что площадь треугольника QAR равна 15. Чему равна площадь треугольника АВС?

Answer 1

QR - средняя линия в BMC

QR||BC, QR=1/2 BC

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1 от вершины.

AK - медиана, AM:MK =2:1

По теореме Фалеса QR делит MK в том же отношении, что и MB - пополам. Следовательно QR делит AK в отношении 5:1 и в том же отношении делит AH.

AE =5/6 AH

S(QAR)/S(ABC) =QR*AE/BC*AH =1/2 *5/6 =5/12

S(ABC) =15* 12/5 =36

Answer 2

Поскольку в треугольнике ABC проведены медианы BL и CN, точка их пересечения M является центром масс треугольника ABC, то есть точкой пересечения медиан. Поскольку точка M делит каждую медиану в отношении 2:1, точка B разделяет медиану CN в отношении 2:1, и точка C разделяет медиану BL в отношении 2:1.

Также, точка 2 является серединой отрезка BM, а точка R – серединой отрезка CM. Из этой информации следует, что отрезок BR является медианой треугольника BC.

Теперь рассмотрим треугольник ABR. По условию известно, что площадь треугольника QAR равна 15.

Площадь треугольника можно выразить через половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

Площадь треугольника QAR = 0.5 * QA * AR * sin(∠QAR).

Поскольку площадь дана и равна 15, мы можем выразить произведение сторон через синус угла:

QA * AR = 30 / sin(∠QAR).

Так как точка R является серединой медианы CM, то отношение CM к AR также равно 2:1:

CM / AR = 2.

Теперь мы можем выразить CM через AR: CM = 2 * AR.

Подставляя это в предыдущее уравнение:

2 * AR / AR = 2 = 30 / sin(∠QAR),

sin(∠QAR) = 30 / 2 = 15.

Но синус угла не может быть больше 1, следовательно, в данной задаче допущена ошибка, и такой треугольник QAR не существует. Вероятно, в задаче допущена ошибка в значении площади треугольника QAR.

Если вы найдете корректное значение площади треугольника QAR, то можно будет продолжить решение задачи, выражая отношения длин сторон треугольников ABC и ABR, что позволит найти площадь треугольника ABC.