Question

Дана трапеция основание которой равны а и 3а, боковые стороны 2а. Определите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей

Answer 1

Суммы противоположных сторон равны, следовательно трапеция имеет вписанную окружность; трапеция равнобедренная, следовательно имеет описанную окружность.  

Центры вписанной и описанной окружностей лежат на общем серединном перпендикуляре к основаниям.

(Точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и биссектрисой. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.)  

K, L - точки касания, OK⊥BC, OL⊥AB

Вписанная окружность касается BC в середине (перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам).

BL=BK =BC/2 =a/2 (отрезки касательных из одной точки)

QM - серединный перпендикуляр, BM=AB/2 =a

LM=BM-BL =a/2  

BH - высота, AH=(AD-BC)/2 =a

BH=a√3 (т Пифагора)

Пусть ON||AB

ON=LM =a/2 (QM||OL, MLON прямоугольник)

ON||AB, OQ||BH => NOQ=ABH

△QON~△ABH (по двум углам)

OQ/AB=ON/BH => OQ=2a *a/2 : a√3 =a/√3

Answer 2

Для начала, давайте определим параметры данной трапеции более подробно. Обозначим основания трапеции как $a$ и $3a$, а боковые стороны как $2a$.

Известно, что в трапеции сумма длин оснований $a_1$ и $a_2$ умноженная на высоту $h$ делённая на 2 равна площади трапеции: $S = \frac{(a_1 + a_2) \cdot h}{2}.$

В данном случае $a_1 = a$, $a_2 = 3a$ и $h$ - это расстояние между основаниями.

Площадь трапеции также можно выразить через длину боковой стороны $b$ (которая равна $2a$) и радиус вписанной окружности $r$: $S = b \cdot r.$

С другой стороны, площадь трапеции можно выразить через радиус описанной окружности $R$: $S = \frac{(a_1 + a_2) \cdot h}{2} = \frac{(a + 3a) \cdot h}{2} = 2a \cdot h = 2a \cdot 2R = 4aR.$

Из этих двух равенств можно сделать вывод, что $b \cdot r = 4aR$.

Таким образом, расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей в данной трапеции равно разности радиусов описанной и вписанной окружностей: $d = R - r = \frac{b \cdot R}{4a} - \frac{b}{2}.$

Подставив значение $b = 2a$, получаем: $d = \frac{2a \cdot R}{4a} - \frac{2a}{2} = \frac{R}{2} - a.$

Таким образом, расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно $\frac{R}{2} - a$.