Question

Пусть точки P и Q - середины сторон AB и AC треугольника ABC, соответственно . Докажите, что треуг.АВС~треуг.APQ

Answer 1

Ответ:

1 способ:

Так как точка Р является серединой АВ, а точка Q серединой АС, то РQ – средняя линия треугольника АВС.

Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника. Тоесть PQ//BC.

Тогда угол AQP=угол АСВ как соответственные при параллельных прямых PQ u BC и секущей АС;

Угол ВАС – общий;

Тогда ∆АВС~∆APQ по двум углам.

2 способ:

Так как точка Р является серединой АВ, то АР/АВ=1/2, а точка Q серединой АС, то AQ/AC=1/2.

Следовательно: АР/АВ=AQ/AС, тоесть стороны ∆APQ относятся к сторонам ∆АВС в равных отношениях, тоесть стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого;

Угол ВАС – общий;

Тогда ∆АВС~∆APQ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ABC и APQ, мы можем использовать свойство медиан треугольника. Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противолежащую сторону пополам и проходит через середину этой стороны.

Дано:

• P - середина стороны AB.
• Q - середина стороны AC.

Мы хотим доказать, что треугольники ABC и APQ подобны.

Для начала, давайте обратим внимание на две медианы треугольника ABC:

1. Медиана AM1, проведенная из вершины A и пересекающая BC в точке M1.
2. Медиана AM2, проведенная из вершины A и пересекающая PQ в точке M2.

Поскольку P - середина AB и Q - середина AC, то:

• PM1 параллельна AC и равна ей наполовину.
• QM1 параллельна AB и равна ей наполовину.

Теперь у нас есть две параллельные стороны в треугольнике APQ (PM1 || AC и QM1 || AB), и у нас есть две равные стороны (PM1 = 0.5 * AC и QM1 = 0.5 * AB). Таким образом, по свойству, треугольники APQ и AM1Q подобны (по стороне-уголу-стороне).

Так как AM1Q и ABC имеют общий угол A и соответственные углы, они подобны. А так как треугольники AM1Q и APQ подобны, то и треугольники ABC и APQ также подобны.

Таким образом, доказано, что треугольники ABC и APQ подобны.