Question

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. К и M - точки пересечения медиан треугольников АCD и BCD соответственно. Докажите, что четырехугольник АКМВ является трапецией. Вычислите длину отрезка КМ, если AB 27 CM. Сделайте с рисунком.

Answer 1

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. К и M - точки пересечения медиан треугольников АCD и BCD соответственно. Докажите, что четырехугольник АКМВ является трапецией. Вычислите длину отрезка КМ, если AB 27 CM.  Сделайте с рисунком.

Объяснение:

1) Пусть медиана АК , ΔСDA , пересечет сторону АD в точке О, СО=ОD.

В ΔСDB соединим О с В, ОВ- медиана , М-точка пересечения медиан.

По т. о точке пересечения медиан имеем

• ΔСDA ,  $\frac{AK}{KO} =\frac{2}{1}$ ,или   $\frac{OK}{OA} =\frac{1}{3}$ ;
• ΔCDB ,  $\frac{BM}{MO} =\frac{2}{1}$ , или  $\frac{OM}{OB} =\frac{1}{3}$  .

ΔОМК подобен ΔОВА по 2-м пропорциональным сторонам и равному углу между этими сторонами :∠О-общий, $\frac{OM}{OB} =\frac{OK}{OA} =\frac{1}{3}$ ⇒соответственные углы равны ∠ОКМ=∠ОАВ , при секущей ОА ⇒ МК║АВ по признаку параллельности прямых.

У четырехугольника АКМВ 2 стороны параллельны ⇒ это трапеция.

2) Т.к. ΔОМК подобен ΔОВА то сходственные стороны пропорциональны  $\frac{OM}{OB} =\frac{KM}{AB} =\frac{1}{3}$  или KM=27*1:3=9 (см) .

Answer 2

К сожалению, я не могу создавать рисунки напрямую, но я могу дать вам текстовое описание доказательства и ответить на ваш вопрос о длине отрезка КМ.

Доказательство:

1. Обозначим точку пересечения медиан треугольника АСD как G, а точку пересечения медианы треугольника ВСD как H.

2. По определению медианы треугольника, точка G делит медиану CD в отношении 2:1 (CG:GD = 2:1), а точка H делит медиану CD также в отношении 2:1 (CH:HD = 2:1).

3. Поскольку медианы пересекаются в точке C и делят друг друга пополам, то точка M также делит медиану CH в отношении 2:1 (CM:MH = 2:1).

4. Так как AB параллельна CD и CM является медианой треугольника ВСD, то по теореме о медиане треугольника медиана делит сторону параллельной стороне в отношении 2:1. Таким образом, AM делит BC в отношении 2:1 (BM:MC = 2:1).

5. Теперь у нас есть две пары параллельных сторон: AB и CD, а также AM и BC.

6. По свойствам параллельных сторон в трапеции, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Так как AB параллельна CD, то угол BAC равен углу CDM, и угол ABC равен углу CDA.

7. Также, по свойствам параллельных сторон, соответствующие углы равны между собой. Так как AM параллельна BC, то угол BMA равен углу CMB.

8. Из пункта 6 следует, что угол BMA + угол BAC = 180 градусов.

9. Таким образом, четырёхугольник АКМВ имеет пару противоположных углов, которые в сумме дают 180 градусов, что является свойством трапеции.

Что касается вычисления длины отрезка КМ:

Поскольку BM:MC = 2:1, а AB = 27, то BM = (2/3) * 27 = 18. Также, по доказательству, AM = BM = 18.

Так как AM и CM делят медиану CH в отношении 2:1, то AM = (2/3) * CM.

Следовательно, (2/3) * CM = 18, откуда CM = 27.

Итак, длина отрезка КМ равна 27.