Question

В параллелограмме ABCD угол A = 60 градусов, высота BE делит сторону AD на две равные части. Найдите длину диагонали BD, если периметр параллелограмма равен 64 см

Answer 1

Ответ:

BD = 16 см.

Объяснение:

В прямоугольном треугольнике АВЕ ∠АВЕ = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника).

Против угла 30° лежит кате АЕ, равный половине гипотенузы АВ.

AD =2·АЕ (дано) = АВ.  => параллелограмм ABCD - ромб.

Периметр ромба равен 64 см (дано), значит его сторона равна 16 см.

В треугольнике АВD АВ=AD - треугольник равнобедренный с углом при вершине А равным 60° = треугольник равносторонний и

BD = АВ = AD = 16 см.

Answer 2

Пусть сторона AD имеет длину x см. Так как высота BE делит сторону AD на две равные части, то AE = ED = x/2 см.

Так как угол A параллелограмма ABCD равен 60 градусам, то угол B равен 180 - 60 = 120 градусов.

Используем закон синусов в треугольнике ABE:

$\frac{BE}{\sin \angle BAE} = \frac{AE}{\sin \angle ABE}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{BE}{\sin 60^\circ} = \frac{x/2}{\sin 120^\circ}$

$\frac{BE}{\sqrt{3}/2} = \frac{x/2}{\sqrt{3}/2}$

$BE = \frac{x}{2}$

Таким образом, сторона BE параллелограмма равна $x/2$ см.

Теперь, чтобы найти сторону BC, мы можем использовать факт, что противоположные стороны параллелограмма равны:

BC = AE = $\frac{x}{2}$ см.

Таким образом, периметр параллелограмма равен:

$AB + BC + CD + AD = 64$ см.

Подставляя известные значения:

$x + \frac{x}{2} + x + \frac{x}{2} = 64$

Упрощая уравнение:

$3x = 64$

$x = \frac{64}{3}$ см.

Теперь мы можем найти длину диагонали BD, используя теорему Пифагора в треугольнике BCD:

$BD^2 = BC^2 + CD^2$

Подставляя значения:

$BD^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + x^2$

$BD^2 = \frac{x^2}{4} + x^2$

$BD^2 = \frac{5x^2}{4}$

Подставляя значение x:

$BD^2 = \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{64}{3}\right)^2$

$BD^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{4096}{9}$

$BD^2 = \frac{5120}{9}$

$BD = \sqrt{\frac{5120}{9}}$

$BD = \frac{80}{3}$ см.

Итак, длина диагонали BD параллелограмма ABCD составляет $\frac{80}{3}$ см.