Question

На стороне параллелограмма ABCD взята точка М так, что АВ = ВМ.а) Найдите периметр параллелограмма, если известно, что CD= 8 см, СМ = 4 см.б) Докажите, что АМ –биссектриса угла BAD.

Answer 1

Ответ:

а) Р ABCD=40 см.

б) ∠ВАМ=∠МАВ - АМ - биссектриса.

Объяснение:

а)  Р=2(АВ+ВС);

АВ=CD=BM=8 см.

AD=ВС=ВМ+МС=8+4=12 см.

P=2(8+12)=2*20=40 см.

***

б)  ΔABM - равнобедренный, у которого АВ=ВМ. Значит  ∠ВАМ=∠ВМА.

∠DAM=∠ВМА, как накрест лежащие при AD ║ BC  и секущей АМ. Следовательно ∠ВАМ=∠DAM и АМ является биссектрисой. Что и требовалось доказать.

Answer 2

а) Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, что противоположные стороны равны и параллельны. Из условия задачи известно, что AB = VM, следовательно, AB || VM.

Поскольку AB || VM и AM - это диагональ параллелограмма, то AM делит параллелограмм на два равных треугольника: AMB и AMD.

В треугольнике AMD сторона AD равна стороне MC (поскольку AD || MC), а сторона CD известна и равна 8 см. Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен сумме сторон AM, MB, BC и CD. Значит, периметр равен:

AB + BM + BC + CD = AB + VM + BC + CD.

Так как AB = VM, то получаем:

AB + VM + BC + CD = AB + AB + BC + CD = 2AB + BC + CD.

Но по свойству параллелограмма AB = CD. Тогда:

2AB + BC + CD = 2CD + BC + CD = 3CD + BC = 3 * 8 см + BC = 24 см + BC.

Ответ: периметр параллелограмма ABCD равен 24 см + BC.

б) Чтобы доказать, что AM является биссектрисой угла BAD, нужно показать, что угол BMA равен углу DMA.

Из условия задачи известно, что AB = VM. Рассмотрим треугольники AMB и AMD. У них уже известны следующие равенства:

AB = VM (по условию) AM = AM (общая сторона) MB = MD (противоположные стороны параллелограмма равны)

Теперь рассмотрим углы. Поскольку AB || VM, то углы BAM и MVD являются соответственными углами и поэтому равны. Также, углы ABM и VMD являются вертикальными углами и равны.

Итак, у нас имеется следующее:

AB = VM (сторона) AM = AM (сторона) MB = MD (сторона) ∠BAM = ∠MVD (углы) ∠ABM = ∠VMD (углы)

Таким образом, по признаку равенства треугольников AMB и AMD, угол BMA равен углу DMA. Следовательно, AM является биссектрисой угла BAD.