Question

Дана вершина А(2;- 5) квадрата ABCD и уравнение прямой (BD) 3х-у+6=0. Найти уравнения прямых, содержащих стороны квадрата.

Answer 1

Прямая (BD) 3х-у+6= 0 это диагональ.

Её уравнение в виде с угловым коэффициентом :

у = 3х + 6. к(BD) = 3.

Так как угол между этой диагональю и сторонами АВ и AD равен 45 градусов (tg 45° = 1), то угловые коэффициенты прямых АВ и AD равны:

к(АВ) = (3 + 1)/(1 - 3*1) = 4/(-2) = -2.

к(AD) = (3 - 1)/(1 + 3*1) = 2/4 = 1/2.

Находим уравнения:

АВ: у = -2х + в, для определения слагаемого "в" подставим координаты точки А: -5 = -2*2 + в, отсюда в = -5 + 4 = -1.

Нашли уравнение одной стороны:

АВ: у = -2х - 1   или в общем виде 2х + у + 1 = 0.

АD: у = (1/2)х + в, для определения слагаемого "в" подставим координаты точки А: -5 = (1/2)2 + в, отсюда в = -5 - 1 = -6.

Нашли уравнение другой стороны:

АD: у = (1/2)х - 6   или в общем виде х - 2у - 12 = 0.

В уравнении другой диагонали АС коэффициенты А и В меняются на -В и  А. Тогда уравнение АС: х + 3у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки А:

2 + 3*(-5) + С = 0, отсюда С = 15 - 2 = 13.

Уравнение АС: х + 3у + 13 = 0.

Находим координаты точки О - точки пересечения диагоналей.

Решаем систему:

{3х - у + 6 = 0  |x3 = 9x - 3y + 18 = 0

{х + 3у + 13 = 0         x + 3y + 13 = 0  

                                10x       + 31 = 0,

x(O) = -31/10 = -3,1      y(O) = 3*(-3,1) + 6 = -9,3 + 6 = -3,3.

Находим координаты точки С как симметричной точке А относительно точки О.

х(С) = 2х(О) - х(А) = 2*(-3,1) - 2 = -8,2.

у(С) = 2у(О) - у(А) = 2*(-3,3) - (-5) = -1,6.

Теперь, имея вершину квадрата - точку С, можно найти уравнения двух других сторон квадрата, параллельных найденным AB и AD.

k(CD) = k(AB) = -2.

CD: y = -2x + b,     -1,6 = -2*(-8,2) + b,     b = -1,6 - 16,4 = -18.

CD: y = -2x - 18.

k(BC) = k(AD) = 1/2.

BC: y = (1/2)x + b,     -1,6 = (1/2)*(-8,2) + b,     b = -1,6 + 4,1 = 2,5.

BC: y = (1/2)x + 2,5.

Answer 2

Для нахождения уравнений прямых, содержащих стороны квадрата ABCD, нам нужно определить координаты остальных вершин квадрата и затем использовать их, чтобы найти уравнения прямых.

Известно, что вершина A имеет координаты (2, -5), и уравнение прямой (BD) имеет вид:

3x - y + 6 = 0

Так как сторона квадрата AB параллельна прямой (BD), то её уравнение будет иметь такой же наклон (коэффициенты при x и y) и будет проходить через вершину A.

Уравнение прямой, проходящей через точку (2, -5) и имеющей такой же наклон, имеет следующий вид:

3x - y + C = 0

Чтобы найти константу C, подставим координаты точки A в это уравнение:

3(2) - (-5) + C = 0

6 + 5 + C = 0

C = -11

Таким образом, уравнение прямой, содержащей сторону AB квадрата, равно:

3x - y - 11 = 0

Теперь, чтобы найти уравнения прямых, содержащих остальные стороны квадрата, нужно определить координаты вершин B, C и D. Квадрат ABCD симметричен относительно центра, поэтому вершина B будет иметь координаты (-5, 2), вершина C будет иметь координаты (2, 9), а вершина D будет иметь координаты (9, 2).

Теперь мы можем найти уравнения прямых, проходящих через стороны квадрата:

1. Сторона AB: Уже найдено - 3x - y - 11 = 0.
2. Сторона BC: Проходит через точки (2, 9) и (2, -5). Так как x-координата не меняется, уравнение будет x = 2.
3. Сторона CD: Проходит через точки (9, 2) и (2, -5). Найдем уравнение этой прямой:

Сначала найдем наклон (угловой коэффициент) прямой:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - (-5)) / (9 - 2) = 7 / 7 = 1

Теперь, используя точку (2, -5) и найденный наклон, получим уравнение:

y - y1 = m(x - x1) y - (-5) = 1(x - 2) y + 5 = x - 2

Переносим 5 на правую сторону:

y = x - 2 - 5 y = x - 7

Таким образом, уравнение прямой, содержащей сторону CD квадрата, равно:

y = x - 7

Итак, у нас есть уравнения всех четырех прямых, содержащих стороны квадрата ABCD:

1. Сторона AB: 3x - y - 11 = 0
2. Сторона BC: x = 2
3. Сторона CD: y = x - 7
4. Сторона DA: 3x - y - 11 = 0