Question

100 баллов! Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 см меньше гипотенузы, а другой на 7 см меньше первого. Найдите гипотенузу.

Answer 1

Пусть гипотенуза - х

Тогда первый катет - х-1

Второй катет - (х-1)-7

Т. к треугольник прямоугольный, то используем теорему Пифагора

c²=a²+b² - общий вид

x²=(x-1)²+(x-8)²

x²=x²-2x+1+x²-16x+64

x²-x²-x²=-18x+65

-x²+18x-65=0

D=324-4(-1)(-65)=64

x1=-18+8/-2=5 см

х2=-18-8/-2=18 см

Либо 5 либо 18

Answer 2

Давайте обозначим гипотенузу как $x$ см. Тогда один из катетов будет $x - 1$ см, а другой будет $x - 1 - 7$ см, что можно упростить до $x - 8$ см.

Согласно теореме Пифагора для прямоугольных треугольников:

$(x - 1)^2 + (x - 8)^2 = x^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x + 1 + x^2 - 16x + 64 = x^2$

Теперь объединим все $x^2$ на одной стороне уравнения:

$x^2 + x^2 - 2x - 16x + 1 + 64 = x^2$

Упростим это уравнение:

$2x^2 - 18x + 65 = x^2$

Выразим $x^2$ на одной стороне:

$x^2 - 18x + 65 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

$D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = -18$, и $c = 65$.

$D = (-18)^2 - 4(1)(65) = 324 - 260 = 64$

Так как $D > 0$, у нас есть два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 8}{2} = 13$ см

и

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 8}{2} = 5$ см

Гипотенуза не может быть отрицательной, поэтому правильный ответ - $x = 13$ см.