Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА Точка Е - середина боковой стороны АВ трапеции АВСД. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и АДЕ равна половине площади трапеции.​

Answer 1

Ответ:

Проведем КН = h - высоту трапеции через точку Е.

ΔАЕН = ΔВЕК по гипотенузе и острому углу:

• ∠АНЕ = ∠ВКЕ = 90°,
• АЕ = ВЕ по условию,
• углы при вершине Е равны как вертикальные,

значит, КЕ = ЕН = h/2.

Пусть AD = a и BC = b.

Площадь ΔАDE:

$S_{ADE}=\dfrac{1}{2}a\cdot \dfrac{h}{2}$

Площадь ΔВСЕ:

$S_{BCE}=\dfrac{1}{2}b\cdot \dfrac{h}{2}$

$S_{ADE}+S_{BCE}=\dfrac{1}{2}a\cdot \dfrac{h}{2}+\dfrac{1}{2}b\cdot \dfrac{h}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{h}{2}(a+b)$

$S_{ADE}+S_{BCE}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a+b}{2}\cdot h$

Так как площадь трапеции равна:

$S_{ABCD}=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$,

то сумма площадей треугольников ВСЕ и ADE равна половине площади трапеции.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте воспользуемся следующими обозначениями:

Пусть E - середина боковой стороны AB трапеции ABCD, а также обозначим точку пересечения AE и CD как F.

Теперь давайте рассмотрим два треугольника: треугольник ADE и треугольник CEF.

1. Треугольник ADE:

   • Высота треугольника ADE, проведенная из точки E, будет равна половине высоты трапеции ABCD, так как E - середина боковой стороны AB.
   • Длина этой высоты будет равна высоте трапеции, обозначенной как h.
   • Боковая сторона AD треугольника ADE равна соответствующей боковой стороне трапеции BC.
   • Таким образом, площадь треугольника ADE равна (1/2) * h * AD.

2. Треугольник CEF:

   • Высота треугольника CEF, проведенная из точки E, также будет равна половине высоты трапеции ABCD (h).
   • Боковая сторона CF треугольника CEF равна соответствующей боковой стороне трапеции AB.
   • Таким образом, площадь треугольника CEF также равна (1/2) * h * CF.

Теперь давайте сложим площади обоих треугольников:

(1/2) * h * AD + (1/2) * h * CF = (1/2) * h * (AD + CF)

Заметим, что AD + CF равно длине верхней основы трапеции AB. Обозначим ее как a.

Таким образом, площадь треугольника ADE + площадь треугольника CEF равна:

(1/2) * h * a

Теперь давайте рассмотрим площадь всей трапеции ABCD:

Площадь трапеции ABCD = (1/2) * h * (AB + CD)

Так как AB и CD - это нижняя и верхняя основы трапеции, а h - ее высота, то площадь трапеции равна:

(1/2) * h * (AB + CD) = (1/2) * h * a

Мы видим, что площадь треугольника ADE + площадь треугольника CEF равна площади всей трапеции ABCD:

(1/2) * h * a = (1/2) * h * a

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей треугольника ADE и треугольника CEF равна половине площади трапеции ABCD.