Question

Если tgα=4 , то найдите значение выражения (2sinα+cosα)/(3sinα-11cosα) .

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{2sin~x + cos~x}{3sin~x - 11 cos~x} = 9$

Объяснение:

tg x = 4

$\dfrac{2sin~x + cos~x}{3sin~x - 11 cos~x} = ?$

Применим универсальную подстановку

$sin~x = \dfrac{2tg~0.5x}{1 + tg^2~0.5x }$

$cos~x = \dfrac{1-tg^2~0.5x}{1 + tg^2~0.5x }$

$\dfrac{2sin~x + cos~x}{3sin~x - 11 cos~x} = \dfrac{2\cdot 2tg~0.5x + 1 - tg^2~0.5x}{3\cdot 2tg~0.5x - 11 + 11tg^2~0.5x }$

$tg~x = \dfrac{2tg~0.5x}{1 -tg^2~0.5x}$

По условию

tg x = 4

$4 = \dfrac{2tg~0.5x}{1 -tg^2~0.5x}$

4 - 4 tg² 0.5x = 2tg 0.5x

$\dfrac{2sin~x + cos~x}{3sin~x - 11 cos~x} = \dfrac{2\cdot 2 tg~0.5x + 1 - tg^2~0.5x}{3\cdot 2tg~0.5x - 11 + 11tg^2~0.5x }\\ \\= \dfrac{2\cdot (4-4tg^2~0.5x) + 1 - tg^2~0.5x}{3\cdot (4-4tg^2~0.5x) - 11 + 11tg^2~0.5x } = \dfrac{9 -9tg^2~0.5x}{1-tg^2~0.5x} = \dfrac{9(1 -tg^2~0.5x)}{1-tg^2~0.5x} = 9$

Answer 2

Для нахождения значения выражения (2sinα + cosα) / (3sinα - 11cosα), зная, что tgα = 4, мы сначала должны найти значения sinα и cosα.

Известно, что tgα = sinα / cosα. Мы знаем, что tgα = 4, поэтому:

sinα / cosα = 4

Теперь давайте рассмотрим тригонометрический треугольник. Мы можем выбрать угол α так, чтобы противоположная сторона была равна 4, а прилегающая сторона была равна 1. Это даст нам:

sinα = 4 cosα = 1

Теперь, когда мы знаем значения sinα и cosα, мы можем вычислить значение исходного выражения:

(2sinα + cosα) / (3sinα - 11cosα) = (24 + 1) / (34 - 11*1) = (8 + 1) / (12 - 11) = 9 / 1 = 9

Итак, значение выражения (2sinα + cosα) / (3sinα - 11cosα) при tgα = 4 равно 9.