Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С ЗАДАЧЕЙ! ДАМ 30 БАЛЛОВ. На сторонах АD и ВС параллелограмма АВСD отмечены точки Р и Q так, что АР = СQ. Докажите, что прямая АС делит отрезок РQ пополам.

Answer 1

Дано - параллелограмм ABCD
BC=AD
AB=CD( Свойство параллелограмма)
AP=QC
Рассмотрим треугольник АВС и треугольник АСD. Они равны так как у них две стороны равны, а сторона АС - общая.
Значит угол САD =углу ВСА
сторона АР=QC=BQ=PD.
Теперь рассмотрим два параллелограмма PQCD и АВQP
Они равны . Значит угол Р =углу В = углу D=углу Q. Отсюда следует , что треугольник АОР= треугольнику QOC . Отсюда следует , что сторона OP=OQ.
Что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства, что прямая AC делит отрезок PQ пополам, давайте воспользуемся параллельными линиями и свойствами параллелограмма.

Дано:

1. AB || CD (параллельность сторон параллелограмма).
2. AP = CQ (заданное условие).

Доказательство:

Поскольку AB || CD, мы можем использовать теорему о параллельных линиях для утверждения, что угол BAC равен углу ADC. То есть, ∠BAC = ∠ADC.

Также из условия AP = CQ следует, что треугольник APQ равнобедренный, так как у него две равные стороны AP и CQ.

Теперь рассмотрим треугольники BAP и CQD:

1. Угол BAP равен углу CQD (по теореме о параллельных линиях).
2. Сторона BA равна стороне CD (по свойству параллелограмма).
3. Сторона AP равна стороне CQ (дано).

Из этих трех фактов следует, что треугольники BAP и CQD равны по стороне-угол-стороне (SAS). Следовательно, угол ABP равен углу CDQ.

Теперь рассмотрим четырехугольник APCQ. У нас есть две пары равных углов: ∠BAC = ∠ADC и ∠ABP = ∠CDQ. Таким образом, этот четырехугольник подобен.

Из подобия четырехугольника APCQ следует, что отношение длин отрезков PQ и AC равно отношению длин отрезков BP и CQ (по свойству подобных фигур).

Теперь мы знаем, что PQ/AC = BP/CQ. Но из условия AP = CQ мы также знаем, что BP = AP.

Подставив это в предыдущее уравнение, получим:

PQ/AC = AP/CQ

Теперь мы видим, что PQ делится пополам (PQ/2) и AC делится пополам (AC/2), и у нас есть:

PQ/2 = AP/CQ

Поэтому прямая AC действительно делит отрезок PQ пополам. Доказательство завершено.