Question

Хорда АВ пересекает диаметр CD окружности в точке Е. АЕ = 4, ВЕ = 5, СЕ = 2. Найдите радиус окружности. заранее спасибо

Answer 1

По теореме о пересекающихся хордах

AE*BE =CE*DE => DE =4*5/2 =10

R =CD/2 =(CE+DE)/2 =(10+2)/2 =6

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой о касательных, которая утверждает, что касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна к радиусу, проведенному к этой точке.

Итак, у нас есть окружность с центром в точке O и радиусом R. Точка Е находится на касательной к окружности и пересекает диаметр CD. Пусть точка С находится на левой стороне от точки D.

Мы знаем, что ВЕ = 5 и СЕ = 2. По теореме о касательных, ОЕ перпендикулярен к ВЕ и ОЕ перпендикулярен к СЕ. Таким образом, треугольник ОЕВ и треугольник ОЕС - это прямоугольные треугольники.

Теперь мы можем использовать это знание, чтобы найти радиус R. В треугольнике ОЕВ:

OE^2 = OV^2 + VE^2,

где OV - это радиус окружности. Подставляя известные значения, получим:

R^2 = OV^2 + 5^2.

Аналогично, в треугольнике ОЕС:

OE^2 = OC^2 + CE^2,

R^2 = OC^2 + 2^2.

Теперь объединим два уравнения и получим систему:

R^2 = OV^2 + 5^2, R^2 = OC^2 + 2^2.

Так как оба уравнения равны R^2, то мы можем приравнять их друг к другу:

OV^2 + 5^2 = OC^2 + 2^2.

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными (OV и OC), но мы знаем, что OC - это половина диаметра CD, и так как CD проходит через центр окружности, то OC = R. Таким образом, мы можем заменить OC на R:

OV^2 + 5^2 = R^2 + 2^2.

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (OV - радиус окружности). Решим его:

OV^2 + 25 = R^2 + 4, OV^2 = R^2 - 21.

Теперь у нас есть два уравнения:

OV^2 + 5^2 = R^2 + 2^2, OV^2 = R^2 - 21.

Подставим второе уравнение в первое:

(R^2 - 21) + 5^2 = R^2 + 2^2.

Раскроем скобки:

R^2 - 21 + 25 = R^2 + 4.

Теперь выразим R^2, вычитая R^2 из обеих сторон уравнения:

-21 + 25 = 4.

4 = 4.

Уравнение верно для любого значения R, значит, радиус окружности не ограничен и может принимать любое положительное значение. Таким образом, невозможно однозначно определить радиус окружности только на основе данных об отрезках AE, BE и CE.