Question

В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2, а высота де лит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 см больше другого. Найти длины сторон треугольника.

Answer 1

Ответ: 1,6 см;  3,6 см; 5,2 см.

Объяснение:

   Назовём треугольник АВС; угол С=90°, АС:СВ=3:2, АН=ВН+2.

Примем ВН=х, АН=х+2.

Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу: ⇒

АС²=АВ•АН=(х+х+2)•(х+2)=2•(х+1)•(х+2)

ВС²=АВ•ВН=(х+х+2)•х=2•(х+1)•х

По условию АС:ВС=3:2 => АС²:ВС²=3²:2²= 9:4

Подставим найденные выше значения катетов в пропорцию:

2•(х+1)•(х+2):2•(х+1)•х=9:4⇒

(х+2):х=9:4

5х=8 ⇒

BH=х=1,6

AН=1,6+2=3,6 см

АВ=2х+2=5,2 см

АС=√(5,2•3,6)=6√52

BC=√(5,5•1,6)=4√52

Answer 2

Давайте обозначим длины катетов как 3x и 2x, где x - это какой-то положительный коэффициент. Тогда гипотенуза будет равна:

Гипотенуза (c) = √((3x)² + (2x)²) Гипотенуза (c) = √(9x² + 4x²) Гипотенуза (c) = √(13x²)

Теперь давайте разделим гипотенузу на два отрезка. Один из них на 2 см больше другого, поэтому мы можем представить их как x и (x+2) см.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

x + (x + 2) = √(13x²)

Теперь давайте решим это уравнение:

2x + 2 = √(13x²)

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2x + 2)² = (√(13x²))² 4x² + 4x + 4 = 13x²

Теперь выразим x²:

4x² + 4x + 4 - 13x² = 0 -9x² + 4x + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Где a = -9, b = 4, и c = 4. Подставим эти значения:

x = (-4 ± √(4² - 4(-9)(4))) / (2(-9)) x = (-4 ± √(16 + 144)) / (-18) x = (-4 ± √160) / (-18) x = (-4 ± 4√10) / (-18)

Теперь разделим оба числителя на -2 (чтобы упростить):

x = (2 ± 2√10) / 9

Теперь мы знаем значение x, и можем найти длины катетов и гипотенузы:

Катет 1 = 3x = 3(2 ± 2√10) / 9 Катет 2 = 2x = 2(2 ± 2√10) / 9 Гипотенуза = √(13x²) = √(13(2 ± 2√10)² / 9)

Это будут значения катетов и гипотенузы в зависимости от выбранного знака в выражении для x.