Question

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания АВ равна 7. А боковое ребро РВ равно 6. На ребрах СD и РС взяты соответственно точки М и К, при этом DМ=2, РК=1 а) докажите, что плоскость ВМК перпендикулярна плоскости АВС. Б) найдите объем пирамиды КВСМ.

Answer 1

а) Доказательством того, что плоскость ВМК перпендикулярна плоскости АВС, служит совпадение проекции точки К на прямую ВМ.

Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат точкой А в начало, АД - по оси Ох, АВ - по оси Оу.

Уравнение АС: у = х.

Уравнение ВМ: у = (-5/7)х + 7.

Вычтем из первого уравнения второе: х - ((-5/7)х + 7) = 0,

12х = 49, координаты точки пересечения АС и ВМ: ((49/12); (49/12)).

Теперь определим координаты проекции точки К на АВС.

Рассмотрим осевое диагональное сечение по ребру РС.

Из подобия (6/(7√2/2)) = 1/m

где m - проекция РК на плоскость АВС, а, точнее, на диагональ АС.

m = 1*(7√2/2)/(6*2) = 7√2/12.

Разложим m по осям: x(m) = y(m) = (7√2/12)*(√2/2) = 7/12.

Теперь можно определить координаты точки Ко:

х(Ко) = у(Ко) = (7/2) + (7/12) = 49/12.

Доказано: точка К лежит в плоскости, перпендикулярной АВС.

б) V(КВСМ) = (1/3)S(BCM)*h(KKo).

S(BCM) = (1/2)*7*5 = 35/2.

Высота пирамиды РРо = √(6² - (7√2/2)²) = √(36 - (98/4)) = √95/2.

Высоту h(KKo) находим из подобия:

h(KKo) = (5/6)PPo = (5/6)*(√95/2) = (5√95/12).

Ответ: V(КВСМ) = (1/3)*(35/2)*(5√95/12) = 175√95/72.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно разобраться с геометрией данной четырёхугольной пирамиды PABCD и плоскостью ВМК. Давайте начнем с пункта (а).

а) Доказательство перпендикулярности плоскости ВМК к плоскости АВС:

1. Первым шагом давайте обратим внимание на то, что стороны АВ и РВ являются боковыми рёбрами пирамиды PABCD, и они равны 7 и 6 соответственно.

2. Зная это, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника PRA (где R - середина боковой стороны РВ):

   PR² = PA² - RA² PR² = 7² - (6/2)² PR² = 49 - 9 PR² = 40 PR = √40 PR = 2√10

3. Теперь у нас есть длина PR, и мы знаем, что DМ = 2 и РК = 1. Давайте рассмотрим треугольник DKM:

   DK = 2 PK = PR - RK = 2√10 - 1

4. Теперь давайте рассмотрим треугольник ВКМ. ВКМ - это прямоугольный треугольник, так как РК перпендикулярно DK (по построению). Мы знаем, что DK = 2, и PK = 2√10 - 1. Значит, VK - это гипотенуза этого треугольника.

5. Мы также знаем, что ВК = PR (по построению), и PR = 2√10.

6. Таким образом, ВК = 2√10, VK - это гипотенуза, а DK - это одна из катетов. Значит, треугольник ВКМ - это прямоугольный треугольник, и плоскость ВМК перпендикулярна плоскости АВС.

б) Теперь давайте найдем объем пирамиды KVKM:

Объем пирамиды можно выразить формулой:

V = (1/3) * S_base * h

где S_base - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

1. Площадь треугольника VKM (основания пирамиды KVKM) можно вычислить, используя половину произведения длин катетов (DK и ВК):

   S_base = (1/2) * DK * ВК S_base = (1/2) * 2 * 2√10 S_base = 4√10

2. Теперь нам нужно найти высоту пирамиды (h). Мы можем использовать треугольник DKM для этого. Мы знаем, что VK - это гипотенуза, DK - один из катетов, и PK - другой катет. Треугольник DKM - это прямоугольный треугольник.

   VK² = DK² + PK² (2√10)² = 2² + (2√10 - 1)² 40 = 4 + 40 - 4√10 + 1 40 = 45 - 4√10 4√10 = 45 - 40 4√10 = 5 √10 = 5/4

3. Теперь, зная высоту h, мы можем найти объем пирамиды:

   V = (1/3) * S_base * h V = (1/3) * 4√10 * (5/4) V = (1/3) * 5√10

Таким образом, объем пирамиды KVKM равен (5/3)√10.