Question

В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна √ 10, а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние между прямыми AS и BC.Пожалуйста, подробное решение)Заранее спасибо.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\sqrt{26}}{2}$

Объяснение:

Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые грани равные равносторонние треугольники.

Прямые AS и ВС - скрещивающиеся. Расстоянием между ними будет длина общего перпендикуляра.

Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота правильного треугольника АВС, АН⊥ВС.

SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SBC, SH⊥ВС.

Так как ребро ВС перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости ASH, то оно перпендикулярно всей плоскости:

BC⊥(ASH)

Проведем в треугольнике ASH высоту НК.

ВС⊥(ASH), HK⊂(ASH), ⇒ BC⊥HK,

AS⊥HK по построению, значит НК - искомое расстояние между скрещивающимися прямыми AS и ВС.

Из правильного ΔАВС:

$AH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$  

$BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$  

ΔSHB:  ∠SHB = 90°, по теореме Пифагора

 $SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-\left(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)^2}=\sqrt{25-\dfrac{10}{4}}=$

$=\sqrt{\dfrac{90}{4}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$  

ΔASH: по теореме косинусов:

$SH^2=SA^2+AH^2-2\cdot SA\cdot AH\cdot \cos\angle A$

$\dfrac{90}{4}=25+\dfrac{30}{4}-2\cdot 5\cdot \dfrac{\sqrt{30}}{2}\cdot \cos\angle A$

$5\sqrt{30}\cos\angle A=25-\dfrac{60}{4}=25-15=10$

$\cos\angle A=\dfrac{10}{5\sqrt{30}}=\dfrac{2}{\sqrt{30}}$

$\sin\angle A=\sqrt{1-\cos^2\angle A}=\sqrt{1-\dfrac{4}{30}}=\sqrt{\dfrac{26}{30}}=\sqrt{\dfrac{13}{15}}$

ΔAKH:  ∠AKH = 90°

$\sin\angle A=\dfrac{HK}{AH}$

$HK=AH\cdot \sin\angle A$

$\boldsymbol{HK}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}{2}\boldsymbol{=\dfrac{\sqrt{26}}{2}}$

Answer 2

Для начала, давайте определимся с геометрической структурой данной треугольной пирамиды SABC. У нас есть следующая информация:

1. Сторона основания (AB) равна √10.
2. Боковое ребро SA равно 5.

Мы хотим найти расстояние между прямыми AS и BC. Для этого нам понадобится использовать свойства треугольных пирамид и геометрических преобразований.

Давайте рассмотрим пирамиду SABC. Поскольку треугольная пирамида имеет правильную структуру, угол между прямой AS и плоскостью ABC равен 90 градусов. Таким образом, AS будет перпендикулярной к плоскости ABC.

Теперь нам нужно найти длину этой перпендикулярной линии. Для этого мы можем воспользоваться подобием треугольников. Обратим внимание, что треугольник ABS является прямоугольным, так как угол BAS равен 90 градусов (поскольку AS перпендикулярна к плоскости ABC).

Мы знаем, что AB = √10 и BA = 5, так что у нас есть прямоугольный треугольник с известными катетами. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы BS:

BS² = AB² + BA² BS² = (√10)² + (5)² BS² = 10 + 25 BS² = 35

Теперь найдем длину BS:

BS = √35

Так как AS перпендикулярна к плоскости ABC, расстояние между AS и BC будет равно длине BS:

Расстояние между AS и BC = √35

Итак, расстояние между прямыми AS и BC равно √35.