Question

ДАМ 35 БАЛЛІВ!! У прямокутному трикутнику один з гострих кутів на 30 більший за інший, а різниця гіпотенузи і меншого катета дорівнює 8 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.​

Answer 1

Нехай ∠АВС = х (х > 0), тоді ∠ВСА = х + 30°, але також, за властивістю прямокутного трикутника ∠ВСА = 90° - х. Праві частини отриманих рівнянь можна прирівняти, щоб отримати значення х.

х + 30° = 90° - х

2х = 60

х = 30° = ∠АВС

"...різниця гіпотенузи і меншого катета дорівнює 8..."

Мешний катет лежить навпроти меншого гострого кута. Тому очевидно, що ∠АВС - мешний гострий кут, а АС - мешний катет.

Нехай гіпотенуза ВС = у (у > 0), тоді:

BC - AC = 8; y - AC = 8; AC = y - 8

Катет навпроти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи

$AC=\frac{1}{2} BC\\y-8=\frac{y}{2}\\2y-16=y\\y=16$

у це і є гіпотенуза

Відповідь: 16 см.

Answer 2

Давайте позначимо кути трикутника і сторони так:

1. Нехай один гострий кут дорівнює x градусів.
2. Тоді інший гострий кут дорівнює x + 30 градусів.
3. Позначимо менший катет як a, більший катет як b і гіпотенузу як c.

Знаючи, що сума всіх кутів у прямокутному трикутнику дорівнює 90 градусів, ми можемо записати:

x + (x + 30) + 90 = 180

Розв'яжемо це рівняння для знаходження значення x:

2x + 30 + 90 = 180 2x + 120 = 180

Віднімемо 120 з обох боків:

2x = 180 - 120 2x = 60

Розділимо обидва боки на 2:

x = 60 / 2 x = 30

Тепер ми знаємо, що один гострий кут дорівнює 30 градусів, а інший гострий кут дорівнює 30 + 30 = 60 градусів.

Зараз ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження гіпотенузи і катетів. Знаючи, що різниця гіпотенузи і меншого катета дорівнює 8 см, ми можемо записати:

b - a = 8

Також, ми можемо використовувати тригонометричні функції для кута 30 градусів:

sin(30°) = a / b

sin(30°) = (1/2)

Тепер можемо розв'язати ці два рівняння для a і b:

1. a = (1/2) * b
2. b - a = 8

Підставимо вираз для a з першого рівняння в друге:

b - (1/2) * b = 8

(1/2) * b = 8

Помножимо обидва боки на 2, щоб позбутися дробів:

b = 16

Тепер, знаючи значення b, можемо знайти a:

a = (1/2) * b a = (1/2) * 16 a = 8

Отже, менший катет дорівнює 8 см, більший катет дорівнює 16 см, і ми можемо знайти гіпотенузу за допомогою теореми Піфагора:

c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 8^2 + 16^2 c^2 = 64 + 256 c^2 = 320

Тепер візьмемо квадратний корінь з обох боків:

c = √320 c = 8√5

Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює 8√5 см.