Question

К двум окружностям радиусов 6 и 3 проведена общая касательная. Найдите расстояние между точками касания, если расстояние между центрами окружностей равно 15. а) для внутренней касательной; б) для внешней касательной. Пожалуйста, решите как можно быстрей.Нужно сдать 05.02.21

Answer 1

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В — точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.
а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.
б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.
Решение.
а) Назовем центры окружностей O_1 и O_2, точки касания с внешней касательной K и N соответственно, точки касания с внутренними — за L, L_1, M, M_1, точку пересечения внутренних касательных и линии центров за T. (см. рисунок). Очевидно, O_1KNO_2 — прямоугольная трапеция. Опустим из середины O_1O_2 перпендикуляр на KN — это будет средняя линия, поэтому для отрезка KN это будет серединный перпендикуляр. Осталось доказать, что KA=NB, тогда и для отрезка AB это будет серединный перпендикуляр.
Для этого воспользуемся следующим фактом: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны. Значит, AM_1=AN, BL_1=BK, L_1M=LM_1 (по два отрезка из точки T). Тогда:
AK=BK минус BA=BL_1 минус BA=BM плюс ML_1 минус BA=
=BN плюс LM_1 минус BA=BN плюс AM_1 минус AL минус BA=
=BN плюс AN минус AL минус BA=
=BN плюс AN минус BA минус AK=BN плюс BN минус AK.
Итак, AK=2BN минус AK, откуда AK=BN.


б) Поскольку O_1T:TO_2=3:6, находим O_1T=5, TO_2=10. Тогда, по теореме Пифагора, LT= корень из { 5 в степени 2 минус 3 в степени 2 }=4, аналогично, MT=8. Тогда L_1M=12. Но:
L_1M=L_1B минус BM=BK минус BN=BA плюс AK минус BN=BA.
Поэтому BA=12.

Ответ: б)12

Answer 2

Для решения этой задачи используем теорему Пифагора и свойства треугольников. Первым делом, давайте нарисуем схему ситуации:

markdownCopy code
   O1           O2
    ○           ○
     \         /
      \       /
       \     /
        \   /
         \ /
          X

Где O1 и O2 - центры окружностей радиусами 6 и 3 соответственно, а X - точка касания общей касательной.

а) Для внутренней касательной:

1. Рассмотрим треугольник O1OX. Он прямоугольный, так как линия O1X - радиус окружности 6 и линия O2X - радиус окружности 3, и они перпендикулярны к касательной. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для него:

   $O1X^2 = O1O2^2 - O2X^2$

   Где:

   • O1X - расстояние от O1 до точки касания X (мы ищем его).
   • O1O2 - расстояние между центрами окружностей, равное 15.
   • O2X - радиус окружности 3.

2. Теперь подставим известные значения и решим уравнение:

   $O1X^2 = 15^2 - 3^2 = 225 - 9 = 216$

   $O1X = \sqrt{216} ≈ 14.7$

Таким образом, расстояние между точками касания для внутренней касательной приближенно равно 14.7.

б) Для внешней касательной:

1. Рассмотрим треугольник O1OX1, где X1 - точка касания для внешней касательной. Он также прямоугольный.

2. Используем теорему Пифагора:

   $O1X1^2 = O1O2^2 + O2X1^2$

   Где:

   • O1X1 - расстояние от O1 до точки касания X1 (мы ищем его).
   • O1O2 - расстояние между центрами окружностей, равное 15.
   • O2X1 - радиус окружности 3.

3. Подставим известные значения и решим уравнение:

   $O1X1^2 = 15^2 + 3^2 = 225 + 9 = 234$

   $O1X1 = \sqrt{234} ≈ 15.3$

Таким образом, расстояние между точками касания для внешней касательной приближенно равно 15.3.

Итак, для внутренней касательной расстояние между точками касания составляет приближенно 14.7, а для внешней касательной - приближенно 15.3.