Question

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(-1;1) В(3;3) С(2;-2) D(-2;-1). Найдите косинус угла А

Answer 1

Находим векторы:

AB = (3-(-1); 3-1) = (4; 2). модуль его равен √(16 + 4) = √20 = 2√5.

AC = (2-(-1); -2-1) = (3; -3). модуль его равен √(9 + 9) = √18 = 3√2.

cos A = (4*3 + 2*(-3))/(2√5*3√2) = 6/(6√10) = √10/10 ≈ 0,316228.

A = 1,249045772 радиан,

A = 71,56505118 градусов.

Answer 2

Для нахождения косинуса угла А (косинуса угла между отрезком AB и осью абсцисс) можно воспользоваться следующей формулой:

$\cos(А) = \frac{{AB \cdot \vec{i}}}{{|AB| \cdot |\vec{i}|}}$

Где:

• $AB$ - вектор, направленный от точки A к точке B (в данном случае, $\vec{AB} = (3 - (-1), 3 - 1) = (4, 2)$),
• $\vec{i}$ - единичный вектор, направленный вдоль оси абсцисс ($\vec{i} = (1, 0)$),
• $|AB|$ - длина вектора AB (в данном случае, $|AB| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$),
• $|\vec{i}|$ - длина единичного вектора вдоль оси абсцисс ($|\vec{i}| = 1$).

Теперь мы можем вычислить косинус угла А:

$\cos(А) = \frac{{(4, 2) \cdot (1, 0)}}{{\sqrt{20} \cdot 1}}$

Вычислим скалярное произведение векторов в числителе:

$(4, 2) \cdot (1, 0) = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 4$

Теперь подставим это значение в формулу:

$\cos(А) = \frac{4}{\sqrt{20}}$

Теперь упростим это выражение:

$\cos(А) = \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Полученное значение косинуса угла А:

$\cos(А) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Это и есть косинус угла между отрезком AB и осью абсцисс.