Question

На сторонах AB, BC, и АС треугольника АВС взяты точки D, E и F соответственно. Отрезки АЕ и DF проходят через центр вписанной в треугольник окружности, а прямые DF и BC параллельны. Найти длину отрезка BE и периметр треугольника АВС, если ВС = 15, BD = 6 , CF = 4.

Answer 1

Ответ:

BE = 9 ; P = 45

Объяснение:

Answer 2

Для начала, давайте обозначим несколько величин:

Пусть:

• $a$ - длина стороны $AB$,
• $b$ - длина стороны $BC$,
• $c$ - длина стороны $AC$,
• $p$ - полупериметр треугольника $ABC$,
• $r$ - радиус вписанной в треугольник окружности.

Известно следующее:

• $BC = 15$,
• $BD = 6$,
• $CF = 4$.

Мы можем заметить, что треугольники $BDF$ и $CFA$ подобны, так как у них соответственные углы равны (по условию $DF \parallel BC$):

$\angle BDF = \angle ACF, \quad \angle DFB = \angle CAF, \quad \angle BFD = \angle AFC.$

Из подобия треугольников следует:

$\frac{BD}{CF} = \frac{DF}{FA}.$

Подставляя известные значения:

$$\frac{6}{4} = \frac{DF}{FA} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{2} = \frac{DF}{FA}.$`

Мы также знаем, что $p = \frac{a + b + c}{2}$.

Из формулы для радиуса вписанной окружности в треугольнике через полупериметр и площадь $r = \frac{S}{p}$ и известно, что $S = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot FA$ (площадь треугольника $DFA$), можно выразить $r$ через $DF$ и $FA$:

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot DF \cdot FA}{p} = \frac{3}{4} \cdot \frac{DF \cdot FA}{p}.$

Теперь мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

$$S = rp.$`

Известно, что $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF$ (площадь треугольника $ABC$), поэтому:

$$rp = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF.$`

Подставляем известные значения:

$\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{DF \cdot FA}{p}\right) \cdot p = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 4.$

Сокращаем $p$:

$$\frac{3}{4} \cdot DF \cdot FA = 2 \cdot AB.$`

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $\frac{3}{2} = \frac{DF}{FA}$,
2. $\frac{3}{4} \cdot DF \cdot FA = 2 \cdot AB$.

Мы можем решить эту систему уравнений. Для этого умножим первое уравнение на $\frac{4}{3}$ и подставим во второе:

$$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot DF \cdot FA = 2 \cdot AB.$`

Сокращаем коэффициенты:

$2 \cdot DF \cdot FA = 2 \cdot AB.$

Теперь сокращаем $2$:

$$DF \cdot FA = AB.$`

Теперь у нас есть выражение для длины стороны $AB$ через длины отрезков $DF$ и $FA$. Мы можем найти $AB$, зная, что $BC = 15$ и $BD = 6$:

$$AB = BC - BD = 15 - 6 = 9.$`

Теперь, используя это значение, мы можем найти $DF$ и $FA$ из первого уравнения:

$$\frac{3}{2} = \frac{DF}{FA}.$`

Следовательно, $DF = \frac{3}{2} FA$.

Теперь мы можем подставить $AB = 9$ и $DF = \frac{3}{2} FA$ во второе уравнение:

DF \cdot FA = AB.$` \frac{3}{2} FA \cdot FA = 9.$`

Упрощаем:

$\frac{3}{2} FA^2 = 9.$

Делим обе стороны на $\frac{3}{2}$:

$$FA^2 = 6.$`

Извлекаем корень:

$$FA = \sqrt{6}.$`

Теперь мы знаем $FA$ и $AB$, и можем найти $DF$:

$$DF = \frac{3}{2} FA = \frac{3}{2} \sqrt{6}.$`

Теперь у нас есть все необходимые значения. Давайте найдем периметр треугольника $ABC$:

$P = AB + BC + AC = 9 + 15 + AC = 24 + AC.$

Для нахождения $AC$ воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике $BAC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2.$ $AC^2 = 9^2 + 15^2.$ $AC^2 = 81 + 225.$ $AC^2 = 306.$

Теперь извлечем корень:

$AC = \sqrt{306}.$

Теперь можем найти периметр $ABC$:

$P = 24 + AC = 24 + \sqrt{306}.$`

Таким образом, длина отрезка $BE$ равна $\frac{3}{2} \sqrt{6}$, а периметр треугольника $ABC$ равен $24 + \sqrt{306}$.