Question

Даны векторы b {3; 1; -2} и c {1; 4 -3}. Найдите |2b-c| Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если a {2; -1; 3} и b {-2; 2; 3} Вершины треугольника ABC имеют координаты A (2; 1; -8); B (1; -5; 0); C (8; 1; -4). Докажите, что треугольник равнобедренный.

Answer 1

1) Даны векторы b {3; 1; -2} и c {1; 4 -3}. Найдите |2b-c|.

Координаты вектора 2b-c {3*2-1 ; 1*2-4  ; (-2)*2-(-3) } ,

                                      2b-c {5 ; -2 ; -1 }.

|2b-c|=√( 5²+(-2)² +(-1)²)= √(25+4+1)=√30.

   2) Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если a {2; -1; 3} и b {-2; 2; 3}.

a*b= 2*(-2)+(-1)*2+3*3=3 .

3) Вершины треугольника ABC имеют координаты A (2; 1; -8);

B (1; -5; 0); C (8; 1; -4). Докажите, что треугольник равнобедренный.

AB=√( -1-2)²+(-5-1)²+ (0+8)²)=√(1+36+64)=√101 ,

BC=√( (8-1)²+(1+5)²+ (-4-0)²)=√(49+36+16)=√101,   ΔABC-равнобедренный , тк АВ=ВС=√101.

==================================

|d|=√( х²+у²+z²),  где (х;у;z) -координаты вектора ;

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²+ (z₁-z₂)²),  где (х₁;у₁; z₁),  (х₂;у₂; z₂) -координаты концов отрезка.

Answer 2

Давайте начнем с вычисления выражений:

1. |2b-c|, где b = {3; 1; -2} и c = {1; 4; -3}:

   2b = 2 * {3; 1; -2} = {6; 2; -4} 2b - c = {6; 2; -4} - {1; 4; -3} = {5; -2; -1}

   Теперь найдем модуль этого вектора: |2b - c| = √((5)^2 + (-2)^2 + (-1)^2) = √(25 + 4 + 1) = √30

2. Скалярное произведение векторов a и b, где a = {2; -1; 3} и b = {-2; 2; 3}:

   a · b = (2 * -2) + (-1 * 2) + (3 * 3) = (-4) - 2 + 9 = 3

Теперь перейдем к доказательству, что треугольник ABC равнобедренный. Треугольник считается равнобедренным, если две его стороны равны по длине.

Для этого нам нужно найти длины всех сторон треугольника ABC и проверить их на равенство. Для этого используем формулу для расчета расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Для стороны AB (между точками A и B): AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2)

Для стороны AC (между точками A и C): AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2)

Для стороны BC (между точками B и C): BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2)

Давайте найдем значения этих сторон:

AB = √((1 - 2)^2 + (-5 - 1)^2 + (0 - (-8))^2) = √(1 + 36 + 64) = √101

AC = √((8 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (-4 - (-8))^2) = √(36 + 0 + 16) = √52

BC = √((8 - 1)^2 + (1 - (-5))^2 + (-4 - 0)^2) = √(49 + 36 + 16) = √101

Теперь мы видим, что AB и BC имеют одинаковую длину, равную √101. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, потому что две его стороны (AB и BC) равны по длине.