Question

Докажите, что сумма расстояний от оснований двух высот треугольника до середины его третьей стороны равна третьей стороне.

Answer 1

A1, B1  - основания высот

AB - третья сторона

O - середина AB

Отрезок AB виден из точек A1 и B1  под прямым углом - точки A1 и B1 лежат на окружности диаметром AB.

OA=OA1=OB1=OB (радиусы)

AB =OA+OB =OA1+OB1

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы можем использовать геометрические свойства треугольников и их высот.

Пусть у нас есть треугольник ABC, а H1 и H2 - его высоты, опущенные из вершин A и B соответственно. Пусть M - середина стороны AC.

Мы хотим доказать, что сумма расстояний от H1 и H2 до M равна длине стороны BC.

1. Обратите внимание, что треугольник AHC1 и треугольник BHC2 подобны треугольнику ABC. Это происходит потому, что угол AC1H1 равен углу BC2H2 (как вертикальные углы), и угол H1AC1 равен углу H2BC2 (поскольку оба они прямые, так как H1 и H2 - высоты).

2. Следовательно, отношение высоты H1 к стороне AC1 равно отношению высоты H2 к стороне BC2: H1C1 / AC1 = H2C2 / BC2

3. Так как M - середина стороны AC, то AM равно MC1, и BM равно MC2.

4. Теперь давайте рассмотрим сумму расстояний от H1 и H2 до M: MH1 + MH2 = (MC1 - HC1) + (MC2 - HC2) = MC1 + MC2 - (HC1 + HC2)

5. Подставим соотношение из пункта 3: MH1 + MH2 = AC1 + BC2 - (HC1 + HC2)

6. Теперь используем соотношение из пункта 2: MH1 + MH2 = AC1 + BC2 - (H1C1 / (H1C1 + H2C2)) * AC1 - (H2C2 / (H1C1 + H2C2)) * BC2

7. Общий знаменатель в последнем выражении - H1C1 + H2C2, который равен полупериметру треугольника ABC (так как H1C1 и H2C2 - это высоты, а полупериметр - это половина суммы всех сторон треугольника): H1C1 + H2C2 = s

8. Подставим s в выражение из пункта 6: MH1 + MH2 = AC1 + BC2 - (H1C1 / s) * AC1 - (H2C2 / s) * BC2

9. Теперь упростим выражение, вынесем общие множители: MH1 + MH2 = AC1(1 - H1C1 / s) + BC2(1 - H2C2 / s)

10. Заметим, что 1 - H1C1 / s равно синусу угла B (sin(B)), и 1 - H2C2 / s равно синусу угла A (sin(A)), так как H1C1 и H2C2 - это высоты, и синус угла в треугольнике равен отношению высоты к гипотенузе. Поэтому мы можем переписать выражение следующим образом: MH1 + MH2 = AC1 * sin(B) + BC2 * sin(A)

11. Снова используем подобие треугольников (как в пункте 1) и получаем: AC1 / BC2 = AC / BC

12. Теперь выразим AC1 и BC2 через AC и BC: AC1 = AC * (HC1 / HC) BC2 = BC * (HC2 / HC)

13. Подставляем это в выражение из пункта 11: (AC * (HC1 / HC)) / (BC * (HC2 / HC)) = AC / BC

14. Упрощаем выражение, убирая HC из числителя и знаменателя: (AC * HC1) / (BC * HC2) = AC / BC

15. Теперь можем выразить HC1 и HC2 через AC и BC: HC1 = (AC / BC) * HC2

16. Подставляем это обратно в выражение из пункта 10: MH1 + MH2 = AC * sin(B) + BC2 * sin(A)

17. Теперь используем соотношение из пункта 15: MH1 + MH2 = AC * sin(B) + (BC * HC2) * sin(A) / BC

18. BC и BC сокращаются: MH1 + MH2 = AC * sin(B) + HC2 * sin(A)

19. Заметим, что sin(B) = sin(A) (так как угол B и угол A дополняют друг друга до 180 градусов):

MH1 + MH2 = AC * sin(A) + HC2 * sin(A)

20. Снова используем подобие треугольников (как в пункте 1) и получаем: HC2 / HC = AC / BC

21. Выразим HC2 через HC: HC2 = (AC / BC) * HC

22. Подставляем это в выражение из пункта 19: MH1 + MH2 = AC * sin(A) + ((AC / BC) * HC) * sin(A)

23. Упростим: MH1 + MH2 = AC * sin(A) + AC * sin(A)

24. Объединяем слагаемые: MH1 + MH2 = 2 * AC * sin(A)

25. Используем определение синуса: MH1 + MH2 = 2 * AC * (BC / 2AC) = BC

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от оснований двух высот треугольника до середины его третьей стороны равна третьей стороне треугольника, что и требовалось доказать.