Question

внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) отмечена точка М так ? что АМ=МС . Докажите , что прямые ВМ и АС перпендикулярны​

Answer 1

В равнобедренном треугольнике медиана выступает также биссектрисой и высотой. А поскольку AM=MC, то BM-медиана в равнобедренном треугольнике, то AMB=90°.

Answer 2

Для доказательства того, что прямые ВМ и АС перпендикулярны внутри равнобедренного треугольника АВС, мы можем использовать геометрические свойства равнобедренного треугольника.

Известно, что АВ=ВС, и точка М такова, что АМ=МС. Так как АМ=МС, это означает, что точка М находится на биссектрисе угла ВАС, так как она делит сторону AC (основание треугольника) на две равные части.

Теперь рассмотрим треугольник ВМС. У нас есть следующие факты:

1. АВ=ВС (дано в условии).
2. АМ=МС (дано в условии).
3. Угол ВАС является углом при основании равнобедренного треугольника, поэтому он равен.
4. Угол ВМС также равен, так как точка М находится на биссектрисе угла ВАС (из пункта 3).

Теперь мы видим, что у нас есть два треугольника ВАС и ВМС с равными углами В и равными углами ВМС. Таким образом, треугольники подобны по углам (по углу-угол-угол).

Если два треугольника подобны, то отношение длин сторон между ними равно. Следовательно, отношение длины ВМ к длине ВС равно отношению длины МС к длине АС:

(ВМ / ВС) = (МС / АС).

Так как ВС = АВ (по условию), то:

(ВМ / АВ) = (МС / АС).

Теперь мы видим, что отношение длины ВМ к длине АВ равно отношению длины МС к длине АС. Так как это отношение равно в двух треугольниках, мы можем заключить, что треугольники ВМА и МСА также подобны.

Теперь, когда мы имеем подобные треугольники, мы знаем, что угол ВМА равен углу МСА, и наоборот. Но угол ВМА и угол МСА оба равны 90 градусов, так как они являются углами между прямыми ВМ и АС и их перпендикулярами.

Следовательно, мы доказали, что прямые ВМ и АС перпендикулярны друг к другу, и доказательство завершено.