Question

Ортогональной проекцией треугольника с площадью, равной 12 cm² является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Вычислите угол между плоскостью треугольника и его проекцией.

Answer 1

Ответ:

α = arccos 0,7

Объяснение:

• Косинус угла между плоскостью фигуры и ее ортогональной проекцией равен отношению площади проекции к площади фигуры:
• $\cos\alpha =\dfrac{S_1}{S}$

где S₁ - площадь проекции фигуры, S - площадь фигуры.

S = 12 см²

Площадь проекции треугольника найдем по формуле Герона:

$S_1=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где р - полупериметр, а, b и с - стороны треугольника.

a = 13 см,  b = 14 см,  с = 15 см

$p=\dfrac{13+14+15}{2}=\dfrac{42}{2}=21$

р = 21 см

$S_1=\sqrt{21 (21-13)(21-14)(21-15)}=$

$=\sqrt{21 \cdot 8\cdot 7\cdot 6}=$

$=\sqrt{3\cdot 7\cdot 2\cdot 4\cdot 7\cdot 2\cdot 3}=$

$=3\cdot 7\cdot 2\cdot 2=84$

S₁ = 84 см²

Очевидно, в условии задачи опечатка, так как площадь проекции фигуры не может быть больше площади фигуры.

Предположим, что S = 120 см², тогда

$\cos\alpha =\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{84}{120}=\dfrac{7}{10}=0,7$

α = arccos 0,7

Answer 2

Для вычисления угла между плоскостью треугольника и его ортогональной проекцией мы можем воспользоваться формулой для вычисления угла между двумя векторами. Пусть вектор $\mathbf{v}$ представляет нормаль к плоскости треугольника, а вектор $\mathbf{p}$ представляет нормаль к плоскости проекции. Угол $\theta$ между этими векторами можно найти по следующей формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{p}}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{p}\|}$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов, а $\|\mathbf{v}\|$ и $\|\mathbf{p}\|$ — их длины.

Для треугольника с заданными сторонами (13 см, 14 см, 15 см) найдем его площадь по формуле полусуммы сторон треугольника Герона:

$S_{\text{тр}} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

где $s$ — полупериметр треугольника ($s = \frac{a + b + c}{2}$), а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон.

Первым шагом найдем площадь треугольника:

$S_{\text{тр}} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = 84 \text{ cm}^2$

Теперь вычислим угол $\theta$ между плоскостью треугольника и его проекцией:

$\cos(\theta) = \frac{S_{\text{тр}}}{S_{\text{пр}}}$

где $S_{\text{пр}}$ — площадь проекции треугольника. Поскольку плоскость проекции ортогональна плоскости треугольника, $S_{\text{пр}}$ также равна 12 cm².

Таким образом,

$\cos(\theta) = \frac{84}{12} = 7$

Теперь найдем угол $\theta$:

$\theta = \arccos(7) \approx \arccos(1)$

Поскольку $\cos(\theta)$ не может быть больше 1, вероятно, в исходных данных произошла ошибка, и ответ на задачу невозможно получить. Пожалуйста, проверьте условие задачи и предоставьте корректные данные.