Question

Kаковы должны быть размеры закрытого цилиндрического бака объёмом 170,368π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Answer 1

Объём цилиндра $V = \pi R^2\cdot h$

Площадь полной поверхности цилиндра

$S = 2\pi R^2 + 2\pi R\cdot h$

Итак $V = \pi R^2 \cdot h = 170{,}368\pi$

$R^2 \cdot h = 170{,}368$

$h = \frac{170{,}368}{R^2}$

$S = 2\pi R^2 + 2\pi R\cdot\frac{170{,}368}{R^2} =$

$= 2\pi R^2 + 2\pi\cdot\frac{170{,}368}{R}$

Найдём экстремум функции

$S = 2\pi R^2 + 2\pi\cdot\frac{170{,}368}{R}$

$S' = 4\pi R - 2\pi\cdot\frac{170{,}368}{R^2} =$

$= 4\pi\cdot\frac{ R^3 - 85{,}184 }{R^2} =$

$= 4\pi\cdot\frac{ (R - 4{,}4)\cdot ( R^2 + 4{,}4\cdot R + (4{,}4)^2 )}{R^2}$

Очевидно, что R > 0.

Тогда минимум в точке R = 4,4. Тогда

$h = \frac{170{,}368}{(4{,}4)^2} = \frac{170{,}368}{19{,}36} = 8{,}8$

Answer 2

Для определения размеров закрытого цилиндрического бака, который потребует наименьшее количество материала, мы можем использовать принцип минимизации поверхности бака. Поверхность цилиндра состоит из двух частей: боковая поверхность и дно.

Общая поверхность цилиндра (S) состоит из боковой поверхности (S_бок) и дна (S_дно):

$S = S_бок + S_дно$

Боковая поверхность цилиндра вычисляется по формуле:

$S_бок = 2\pi r h$

Площадь дна цилиндра вычисляется по формуле для площади круга:

$S_дно = \pi r^2$

Объем цилиндра (V) вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

Мы знаем, что объем бака (V) равен $170,368\pi$, так что:

$170,368\pi = \pi r^2 h$

Разрешая это уравнение относительно h, получаем:

$h = \frac{170,368}{r^2}$

Теперь можем выразить боковую поверхность через r:

$S_бок = 2\pi r h = 2\pi r \cdot \frac{170,368}{r^2} = \frac{341,736\pi}{r}$

Подставляя это в общую формулу для поверхности S:

$S = \frac{341,736\pi}{r} + \pi r^2$

Теперь наша задача - найти минимум S, что эквивалентно поиску минимума функции S(r). Для этого нужно найти производную функции S(r) и приравнять её к нулю:

$\frac{dS}{dr} = 0$

Рассчитаем производную:

$\frac{dS}{dr} = -\frac{341,736\pi}{r^2} + 2\pi r$

Теперь приравняем производную к нулю:

$-\frac{341,736\pi}{r^2} + 2\pi r = 0$

Разрешая это уравнение относительно r, мы получим оптимальное значение радиуса бака.