Question

Kаковы должны быть размеры открытого цилиндрического бака объёмом 128π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Answer 1

Ответ:

R≅5,04

H≅5,04

Объяснение:

Объём цилиндра :

(1)  V = πR²H,

где R - радиус цилиндра, H - высота цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра:

(2) S = πR² + 2πRH

Выразим из формулы (1) высоту цилиндра и подставим значение в формулу (2):

$H= \dfrac{V}{\pi R^{2} } =\dfrac{128\pi }{\pi R^{2} } =\dfrac{128}{R^{2} } \\\\S = \pi R^{2} +2\pi R\dfrac{128}{R^{2} } = \pi R^{2} + \dfrac{256\pi }{R}$

Найдём минимум этой функции по переменной R. Для этого вычислим производную и определим критические точки.

$S' = (\pi R^{2} +\dfrac{256\pi }{R} )' = 2\pi R-256\pi \dfrac{1}{R^{2} }$.

S' = 0,

$></p> <p>Если R = 0, то производная не существует.</p> <p><img src=$

R≅ 5.04

Отметим эти значения на координатной прямой и oпределим знак производной на трёх полученных числовых интервалах. (Cм.рис)

Известно, что в точке минимумa производная меняет знак с минусa на плюс. Соответственно,  наименьшее количество материала можно получить, если радиус основания цилиндра R=5,04

Вычислим соответствующую высоту цилиндра:

$H = \dfrac{128}{R^{2} } =\dfrac{128}{5,04^{2} } =\dfrac{128}{25,40} = 5,04$

Answer 2

Размеры открытого цилиндрического бака, чтобы использовалось наименьшее количество материала, можно получить, если использовать оптимальные пропорции для изготовления такого бака.

Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πr^2h, где "V" - объем, "π" - число Пи (приближенное значение 3.14), "r" - радиус основания цилиндра, "h" - высота цилиндра.

Условие задачи говорит, что объем бака равен 128π. Заменим это значение в формулу для объема цилиндра:

128π = πr^2h

Сократим общий множитель π:

128 = r^2h

Так как нас интересует наименьшее количество материала, необходимо найти такие значения "r" и "h", при которых их произведение r^2h будет минимальным.

Для нахождения минимального значения произведения r^2h воспользуемся методом нахождения экстремума функции одной переменной. В данном случае мы рассматриваем произведение r^2h как функцию одной переменной h при фиксированном значении r.

r^2h = (h^2)r

Теперь мы имеем произведение "h^2" на константу "r". Произведение будет минимальным, когда значение "h^2" будет минимальным.

Таким образом, для использования наименьшего количества материала и, следовательно, минимальных размеров открытого цилиндрического бака, необходимо выбрать минимальное значение для "h^2". Это происходит, когда "h" равно нулю.

Таким образом, чтобы наименьшее количество материала использовалось на изготовление цилиндрического бака объемом 128π, высота бака должна быть равна нулю. Однако, это нереалистично, поскольку цилиндр без высоты не будет иметь объема.

Следовательно, мы не можем выбрать наименьшее количество материала для изготовления цилиндра объемом 128π. Нам необходимо придерживаться определенных пропорций для создания стабильной и функциональной конструкции.