Question

Задача. Завод планирует выпускать баки в форме цилиндра без крышки. Рассчитать R основания и h бака, если его V должен быть равен 24,389π, при этом расход материала на его изготовление должен быть наименьшим. Радиус основания цилиндра равен ... Высота цилиндра равна ...

Answer 1

Ответ: R=h=2,9.

Объяснение:

Объём бака V=π*R²*h, а расход материала будет наименьшим в том случае, если будет наименьшей поверхность бака S. А так как S=π*R²+2*π*R*h, то задача сводится к нахождению условного экстремума функции двух переменных. Но так как при этом V=24,389*π=const, то h=V/(π*R²), и задача упрощается до нахождения экстремума функции одной переменной R. Тогда S(R)=π*R²+2*π*R*V/(π*R²)=π*R²+2*V/R. Производная S'(R)=2*π*R-2*V/R². Приравнивая её к нулю, получаем уравнение π*R=V/R², откуда R=∛(V/π)=2,9. Если R<2,9, то S'(R)<0; если R>2,9, то S'(R)>0. Поэтому значение R=2,9 доставляет минимум функции S(R). При R=2,9 h=V/(π*R²)=2,9.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип оптимизации, чтобы найти такие значения радиуса основания (R) и высоты (h) цилиндра, которые минимизируют расход материала при фиксированном объеме (V) бака.

Объем цилиндра можно выразить следующим образом:

V = π * R^2 * h

Известно, что V должно быть равно 24,389π. Теперь мы хотим найти R и h, которые минимизируют расход материала. Расход материала связан с площадью поверхности цилиндра, и площадь поверхности можно выразить следующим образом:

A = 2πR^2 + 2πRh

Теперь мы можем решить эту задачу оптимизации с ограничением:

Minimize A = 2πR^2 + 2πRh

Subject to V = 24,389π

Для решения этой задачи оптимизации с ограничением мы можем воспользоваться методом множителей Лагранжа. Сначала составим функцию Лагранжа:

L(R, h, λ) = 2πR^2 + 2πRh + λ(24,389π - πR^2h)

Теперь найдем частные производные функции Лагранжа по R, h и λ и приравняем их к нулю:

∂L/∂R = 4πR + 2πλR = 0 ∂L/∂h = 2πR + πλR^2 = 0 ∂L/∂λ = 24,389π - πR^2h = 0

Теперь решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения получаем: 4R + 2λR = 0 R(4 + 2λ) = 0

R = 0 (это не имеет физического смысла) или 4 + 2λ = 0 2λ = -4 λ = -2

Из второго уравнения: 2R + λR^2 = 0 2R - 2R^2 = 0 2R(1 - R) = 0

R = 0 (это не имеет физического смысла) или 1 - R = 0 R = 1

Из третьего уравнения: 24,389π - πR^2h = 0 π(24,389 - R^2h) = 0

24,389 - R^2h = 0 R^2h = 24,389

Теперь, когда мы знаем, что R = 1 и R^2h = 24,389, мы можем найти h: 1^2 * h = 24,389 h = 24,389

Таким образом, радиус основания цилиндра (R) равен 1, а высота цилиндра (h) также равна 24,389.