Question

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, основание равно 10 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник и радиусописанной около этого треугольника окружности.​

Answer 1

Ответ:

Радиус окружности вписанной в треугольник $r=3\dfrac{1}{3}$ см, а радиус окружности, описанной около треугольника $R=7\dfrac{1}{24}$  см

Объяснение:

Пусть дан ΔАВС - равнобедренный.

АВ=ВС= 13 см, АС =10 см .

Проведем высоту  ВН к основанию, в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является медианой. Тогда  АН=НС= 10:2=5 см.

Рассмотрим Δ АНВ - прямоугольный. Применим теорему Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AB^{2} =AH^{2} +BH^{2} ;\\BH^{2}=AB^{2} -AH^{2};\\BH= \sqrt{AB^{2} -AH^{2}};\\BH= \sqrt{13^{2} -5^{2} } =\sqrt{169-25} =\sqrt{144} =12$

Значит, высота BH =12 см.

Найдем площадь  ΔАВС

$S= \dfrac{1}{2} \cdot AC\cdot BH ;\\S=\dfrac{1}{2} \cdot 10\cdot 12=6\cdot10=60$

S= 60 см².

Радиус окружности, вписанной в треугольник найдем по формуле :

$r= \dfrac{2S}{P} ,$  где  S- площадь треугольника , P- периметр треугольника.

$r= \dfrac{2\cdot60 }{13+13+10} =\dfrac{2\cdot60}{36} =\dfrac{2\cdot12\cdot5}{3\cdot12 } =\dfrac{2\cdot5}{3} =\dfrac{10}{3} =3\dfrac{1}{3}$

Тогда радиус окружности. вписанной в треугольник $r=3\dfrac{1}{3}$ см.

Радиус окружности, описанной около треугольника найдем по формуле :

$R= \dfrac{abc}{4S } ;\\\\R= \dfrac{13\cdot13\cdot10 }{4\cdot 60 } =\dfrac{169}{24} =7\dfrac{1}{24}$

Значит, а радиус окружности, описанной около треугольника будет  $R=7\dfrac{1}{24}$  см

Answer 2

Для нахождения радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника, мы можем воспользоваться формулой:

$r = \frac{a}{2} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

где:

• $r$ - радиус вписанной окружности,
• $a$ - длина боковой стороны треугольника,
• $\alpha$ - угол между боковой стороной и одной из равных оснований треугольника.

В данном случае, у нас дана длина боковой стороны $a = 13$ см, и основание треугольника $b = 10$ см. Равнобедренные треугольники имеют два угла, которые равны между собой, так что $\alpha$ - это угол между боковой стороной и одной из равных оснований. Мы можем найти $\alpha$ следующим образом:

$\alpha = \arccos\left(\frac{b}{2r}\right)$

где $r$ - радиус вписанной окружности.

Подставляем известные значения:

$\alpha = \arccos\left(\frac{10}{2r}\right)$

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:

$r = \frac{a}{2} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{13}{2} \cdot \tan\left(\frac{\arccos\left(\frac{10}{2r}\right)}{2}\right)$

Это уравнение содержит неизвестное значение $r$, поэтому мы должны решить его численно. Можно использовать численные методы, такие как метод половинного деления (бинарного поиска) или метод Ньютона, чтобы найти значение $r$. В данном случае, я предложу вам воспользоваться методом половинного деления. Попробуйте разные значения для $r$ в интервале от 0 до какого-то максимального значения (например, 10 см), и найдите значение $r$, при котором уравнение выполняется. После нахождения значения $r$, вы сможете найти радиус описанной окружности, используя формулу $R = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.